Bonjour,
Peut-être qu'en notant f la bijection , ce sera plus clair ?
Quand x décrit G, f(x) décrit G.

Ou bien regarder ce qui se passe dans une situation moins générale mais plus usuelle :
A = {1,2,3,4,5,6}, f la bijection de A dans A définie par f(x) = 7-x.

Comparer avec

salut

en fait on ne simplifie pas et en fait P = e (le neutre) puisqu'à tout élément x de G correspond un unique inverse ...

une bijection d'un ensemble n'est simplement qu'une permutation de ses éléments donc les ensembles G = {x / x G} et {x₀x / x G} sont égaux ... et le produits des éléments de ces deux ensembles sont donc égaux

enfin

Bonjour carpediem
@Autodidacte33,
Inutile de lire ce message.

@carpediem,
Je me trompe peut-être, mais il me semble que si n est pair alors le produit P n'est pas égal à e.

salut Sylvieg

effectivement P est alors égal au produit des éléments égaux à leur inverse ...  ce me semble-t-il ...

donc pour préciser : on ne simplifie pas par P mais on multiplie par son inverse (puisque P est un élément de G)

...

Bonjour,
Merci de vos réponses.

@Carpediem : votre premier message m'a permis de directement comprendre l'idée de la correction. Merci

Concernant "la simplification", je suis bien d'accord avec vous, c'est l'auteur du bouquin qui se permet d'utiliser ce terme et il avait expliqué avant que la multiplication par l'inverse est sous-entendue ...



@Sylvieg : Je suis quand même curieux , j'ai pris alors deux exemples :

  (avec )
Ici, le cardinal est  impair, et le produit égale à   .

  (tous les éléments sont deux à deux distincts )
Ici, le cardinal est pair,  pour que soit un groupe, il faut que , et dans ce cas,   , ce qui convient avec ce que Carpediem a dit .

Intéressant, je note

Merci beaucoup!

De rien
Attention cependant dans tes exemples. Sont-ils vraiment des groupes ?
Il faudrait préciser à quoi est égal ab entre autre.

J'avais regardé un groupe d'ordre 4 :
Celui des rotations planes de centre O avec r la rotation quart de tour direct. G = ( e, r, r², r^-1)
Le produit P est alors r² qui est son propre inverse.

Oui , tout à fait, il faut définir toutes les multiplications dans et .
Dans votre exemple , tout est déjà défini.

Je me permet d'ouvrir une petite parenthèse pour les intéressés. Ce résultat de l'exercice permet de trouver tous les sous-groupes finis de . En effet :

Soit un sous-groupe fini , de cardinal
Alors, d'après le résultat de l'exercice, on a
Donc
Et puisque , on a .
On conclut que les sous-groupes de    sont les groupes    ,

Bonjour Autodidacte33,

ton exercice est très instructif quand on commence les groupes, surtout avec tous les suppléments de Sylvieg et carpediem. J'espère que tu verras assez vite le résultat qu'on appelle "le théorème de Lagrange" sur les ordres des éléments d'un groupe fini, le résultat cherché devient alors rapide à montrer (toutefois c'est vraiment bien de mettre les mains dans le cambouis, surtout qu'ici le type de raisonnement est sympa, je ne sais pas si la rapidité prévaut sur cette démo).

Merci Autodidacte33 pour le prolongement vers les complexes

le principe du raisonnement est un classique : montrer que le résultat est invariant par une certaine opération ... ce qui permet de trouver une équation d'inconnue ce résultat et qu'il est aisé de résoudre ...

ici l'opération consiste à introduire une bijection (non triviale donc en supose x₀ e)


cependant je ne vois pas trop le lien entre ce résultat et les sous-groupes multiplicatifs finis de C* qui n'est qu'un cas particulier de la théorie générale basique des groupes finis ...

ce résultat ne dit simplement que ce qu'il dit (même si c'est quelque chose de fondamental bien sûr) : pour tout élément g d'un groupe fini G  :  g^|G| = e

on peut le démontrer d'une autre façon si on veut en considérant l'application f de (ou ) dans G définie par : g gⁿ

il y a alors contradiction entre les propositions :
-  f n'est pas périodique
-  G est fini