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Oui à ton avant-dernier message.
Pour la dernière question, utilise que pour tout x et tout y, fg(x)-fg(y) = f(x)(g(x)-g(y)) + g(y)(f(x)-f(y) .
C'est un truc hyper classique qui permet par exemple de prouver que le produit de deux suuites convergentes est convergent.
Majore ensuite, pour tout intervalle de la subdivision, |fg(x)-fg(y)| par |f(x)|.|g(x)-g(y)| + |g(y)|.|f(x)-f(y)| en appliquant l'inégalité triangulaire.
Enfin utilise que f et g sont bornées d'après une question précédente (puisqu'à variation bornée), appelle A et B des bornes respectives, puis ramène-toi à une somme d'écarts de f plus une somme d'écarts de g;
bref, à une majoration globale du calcul par A.V(f) + B.V(g), et c'est gagné! 
Merci, je venais d'y penser.
Mais la où je bloque, c'est que je ne vois pas comment faire apparaitre Sup(f) et Sup(g), et pourtant d'après mon calcul, il semblerait que cela vienne de 
k=1n(f(xk-1)) et de k=1n(g(xk)), ce qui me semble bizarre.
En fait, j'arrive à :
V(f*g,w)=k=1n(|f(xk-1)|*|g(xk)-g(kk-1)|)+k=1n(|g(xk)|*|f(xk)-f(xk-1)|).
Après je vois pas, ya les |g(xk| et |f(xk-1)| qui m'emmbetent.
C'est ce que je t'expliquais dans mon avant-dernier message : tu majores chaque |f(x_(k-1)| par A = sup|f| et pareil à côté avec B = sup|g|.
Tu factorises par A et B selon la somme, et ce qui reste est un brave V(g,w) à gauche et un brave V(f,w) à droite!
Pfff, tu m'écoutes pas...Je viens de te dire deux fois de suite comment procéder!
Mais la réponse est non.
Dans la première somme, il va rester une somme de termes du type A.|g(x_k)-g(x_(k-1)| donc tu peux factoriser A en le sortant de la somme.
Bonjour!
Pour f*g j'ai enfin compris.
Ensuite, on a :
Soit f
VB(I). Soit (u,v)I² tel que u
v.
a) Soit wΩ(I) et soit cI. On note ωc la subdivision obtenue en adjoignant le point c (si c est déjà l'un des points de ω, on aura donc ωc=ω).
Montrer que V(f,ω )V(f,ωc ).
J'ai fait 2 cas :
1er cas : ωc=ω.
On a donc V(f,ω )=V(f,ωc ).
Mais pour le 2ème cas ωc≠ω, je n'arrive pas à montrer l'inégalité.
Salut!
Il est inutile de distinguer deux cas ici.
Considère une division w = (x0,...,xn).
c est dans un seul des intervalles [xk,x(k+1)].
Ecris la somme des écarts pour f sur w, puis passe par c entre xk et x(k+1).
Qu'obtiens-tu?
Soit c comprit entre xk-1 et xk.
On a :
V(f,ω )=|f(xn-f(xn-1)|+...+|f(xk)-f(xk-1)|+...+|f(x1)-f(x0)|.
et V(f,ωc )=|f(xn-f(xn-1)|+...+|f(xk)-f(xc)|+|f(xc)-f(xk-1))|+...+|f(x1)-f(x0)|
V(f,ω ) car |f(xk)-f(xk-1)||f(xk)-f(xc)|+|f(xc)-f(xk-1))|
Voilà, après je ne sais pas si mon c est défini rigoureusement.
Non, ton c est fixé à l'avance.
Puis on se donne une division w.
Dans cette division, un seul des segments [x(k-1);xk] contient c.
Donc c'est plutôt k qui est défini ainsi (le numéro du segment qui contient c).
Après, tout ce que tu écris est juste.
Quand tu veux démontrer qu'une propriété est vraie pour tout point M, tu commences par fixer M.
Quand tu veux démontrer que pour tout x, il existe n tel que x > n, tu commences par fixer x.Etc...
D'ailleurs l'énoncé précise bien: soient w et c fixés.
Fixer w, c'est fixer x0,x1 etc...Donc une fois w et c fixés, on regarde où "tombe" c parmi les xk, autrement dit on regarde pour quel entier k, c est dans l'intervalle [x(k-1);xk].
Le plus important est décidément de bien comprendre ce qu'on fait, avant de commencer les calculs.
On ne peut pas parvenir à conclure si on n'a pas bâti un raisonnement solide au préalable.
cOui, mais comment veux-tu raisonner si tu ne commences pas par le fixer, justement?
J'ai l'impression que tu ne t'es jamais trop posé de questions métaphysiques, en maths... 
Eh bien c'est simple:
Pour toute subdivision w et pour tout c dans I, il y aura un entier k (à chaque fois différent) tel qu'on puisse faire la majoration que tu as fort justement donnée dans ton message de calcul précédent.
Donc à chaque coup, on aura bien V(f,w) < V(f, w_c).
C'est don bien vrai pour tout fixé à l'avance.
Mais tout cela, tu n'as pas besoin de le dire, l'essentiel est de commencer par écrire:
"Soit w=(x0,...xn) une subdivision fixée de [a;b], et c un réel fixé de cet intervalle.
Alors il existe un unique entier k > = 1 tel que c soit dans [x(k-1);xk]."
Puis tu écris ton calcul, et tu auras prouvé ce qu'il faut por tout c.
La question n'est pas pour autant terminée, il faut à présent conclure.
Pas du tout, puisque w_c dépend de w!
Tu pourrais passe aux deux sup en même temps si les deux subdivisions étaient quelconques (indépendantes l'une d'entre elles).
Je te laisse réfléchir, mais ça se fait en deux temps.
Ah pardon tu as raison, c'est réglé pour la question, j'avais extrapolé quelque chose qui n'avait en fait pas lieu d'être, désolé!
C'est donc bon pour la question.
Ensuite on me demande de démontrer :
SupVav(f)SupVau(f)+SupVuv(f).
Cette fois-ci je trouve une égalité, donc ça cloche.
OK, c'est donc là qu'on va devoir passer aux Sup, comme je pensais qu'il fallait déjà le faire auparavant.
Reprends ton inégalité détaillée en remplaçant c par u, et vois le membre de droite comme une somme de deux termes, le premier s'arrêtant à |f(u) - f(x(k-1))|.
Tu ne peux pas obtenir d'égalité en partant d'une inégalité.
Reste à voir dans quel ordre procéder pour passer aux sup.
Qu'en penses-tu?
Ok j'ai trouvé, on remplace juste c par u et b par v, puis on passe directement au Sup puisque fVB([a,v])
C'est bon?
Non puisque passer au sup signifie le faire sur l'ensemble des subdivisions (x1,...,xn) possibles.
Si on le fait à gauche, on ne peut pas les laisser du côté droit.
Par ailleurs, on ne peut pas non plus tout faire en même temps car on n'a pas w à droite, mais des subdivisions de deux intervalles sont la réunion est I, subdivisions qui dépendent de w.
Il n'est donc pas rigoureux de passer au sup à droite.
Une autre idée?
On peut peut etre majorer séparément Vau(f) et Vuv(f) par leur Sup, puis on obtient l'iégalité voulue.
Exactement!
En tant que subdivisions particulières de [a;u] et de [u,v], les subdivisions choisies fournissent des sommes majorables par leur sup respectif.
Donc on obtient ce qu'il faut à droite.
Mais à gauche, comment faire apparaître alors Vab(f) ?
Eh bien les subdivisions ont à présent disparu à droite, donc l'inégalité obtenue signifie que pour tout w, on a la majoration V(f,w) < Va,u(f) + Vu,v(f).
Le membre de droite est une constante, donc?
Comme à droite c'est constant, aolrs pour toute subdivision w de [a,v], on a l'inégalité V(f,w) Va,u(f) + Vu,v(f), donc en particulier lorsque l'on passe à la borne Sup à gauche, la subdivision w pour laquelle la borne Sup est "atteinte" satisfera l'inégalité.
Tu y es presque, mais tu n'as pas compris ce qu'était une borne sup:
il peut très bien ne pas exister de subdivision précise w pour laquelle le sup est atteint;
les sommes peuvent ne faire que se rapprocher infiniment près de la limite mais sans jamais l'atteindre, un peu comme la suite croissante 1 - 1/n ne fait que se rapprocher indéfiniment de 1 mais sans jamais l'atteindre:
le sup de {1 - 1/n, n entier>0} vaut 1, pourtant aucune valeur de n ne donne 1: c'est la différence entre sup et max.
Ici, pour conclure tu ne peux donc pas dire "En particulier", puique cela supposerait qu'il existe forcément une subdivision w qui réalise cette borne supérieure.
En revanche, tu peux appliquer la propriété selon laquele, si pour tout w, V(f,w) est majoré par une constante M, alors le sup existe et est encore majoré par cette constante M.
Cela achève la démonstration.
Oui je suis d'accord, j'ai voulu aller un peu trop vite.
Je voudrais pas abuser de ton aide, mais je bloque encore à la question suivante, sauf que là, je n'en ai aucune idée, la voici :
Soit ε>0. Montrer qu'il existe wΩ([a,v]) contenant le point u telle que V(f,w )>Vau(f)+Vuv(f)-ε.
Merci d'avance.
Pour avoir des sommes qui se rapprochent de Va,u(f), il suffit de se rappeler que ce nombre est la borne sup de sommes effectuées sur l'intervalle [a;u] :
par définition de la borne sup, il existe donc une subdivision w1 de [a;u] telle que la somme associée soit "tout près mais juste en dessous" de Va,u(f), ce qu'on va traduire par:
V(f,w1,[a;u]) > Va,u(f) - epsilon/2 .
Fais de même sur [u,v], puis rassemble les desu subdivisions en une subdivision globale de [a;v].
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