Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 3 +

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 18:48

girdav >>
Non non, tu as du faire une erreur car maple trouve bien pareil que moi.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 19:24

On a bien \bigsum_{k=0}^{n-1}{-e^{-\frac{k+1}{n}}} = -e^{-\frac{1}{n}}\bigsum_{k=0}^{n-1}{\left(e^{-\frac{1}{n}}\right)^k} = -e^{-\frac{1}{n}}\frac{e^{-1} - 1}{e^{-\frac{1}{n}}-1.
C'est cette partie de ton calcul qui me pose problème.

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 19:54

J'ai pas bien compris pourquoi le fait de découper l'intervalle en petit bout nous débarrasse de la partie entière

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:00

On est bien d'accord et

-e^{-\frac{1}{n}}\frac{e^{-1} - 1}{e^{-\frac{1}{n}}-1} = -\frac{e^{-1} - 1}{e^{\frac{1}{n}}(e^{-\frac{1}{n}}-1)}= -\frac{e^{-1} - 1}{1-e^{\frac{1}{n}}}= \fr{e^{-1}-1}{e^{\fr{1}{n}}-1}

c'est l'expression que j'ai donné.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:03

olive >> il est difficile d'intégrer la partie entière, c'est pourquoi, il faut trouver une "astuce" pour s'en débarrasser.

De plus, le résultat que j'ai trouvé est logique car on coefficiente e^{-x} par la partie décimale, dont la valeur moyenne est \fr{1}{2}.

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:05

Ouais j'avais compris le but de la manoeuvre mais pas mal manoeuvre en elle même en fait ^^

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:10

En effet c'est exact. Mais pour la limite on peut écrire:
\frac{1}{1-e^{\frac{1}{n}}}+n = \frac{1-n e^{\frac{1}{n}}+n}{1-e^{\frac{1}{n}}.
Or 1-n e^{\frac{1}{n}}+n = 1-n\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2} +o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) +n = \frac{1}{2n} +o\left(\frac{1}{n}\right) et e^{\frac{1}{n}}-1 = \frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right) et la limite du quotient vaut bien \frac{1}{2} d'où le résultat que tu as annoncé (autre façon de calculer la limite autrement que par la règle de l'Hospital).
C'est un exercice que j'ai trouvé intéressant car on fait des calculs à la fois sur le discret (les sommes) et le continu (l'intégration par parties).

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:12

Ah oui j'ai mal lu...pour s'en débarrasser on exprime nx-E(nx) sur le segment [\fr{k}{n};\fr{k+1}{n}] avec k\in\mathbb{N}, 0\le k<n
car c'est un fonction affine.
On exprime ainsi l'intégrale incalculable de départ en somme d'intégrales calculables.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:16

girdav >> Alors c'est bon ?
En tout cas merci pour ton exercice très intéressant !
Je ne connais pas encore les développements limités, c'est pourquoi je suis passé par l'Hospital.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:17

Une question que je me pose: a-t-on convergence uniforme sur \left[0,1\right)de la suite d'applications définies par f_n(x) = nx-E(nx)?

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:19

matovitch>>
Je suis d'accord. Xcas m'a de plus induit en erreur en me donnant une limite infinie. Vive Maple!

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:23

Juste une remarque  : tu as utilisé un développement d'ordre 2 et j'ai utilisé l'Hospital 2 fois (le lien est assez intuitif).
De plus j'avais "senti" que la limite était réelle en raison de l'approximation affine de e^x-1 qui est un développement limité d'ordre 1.

Que veux dire convergence uniforme ?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:26

Ouaip girdav si tu pouvais nous faire une petite différence entre convergence absolue, uniforme etc ?


Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:30

On dit que la suite \left( f_n\right)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers f sur X \subset \mathbb{R} si:
\forall \epsilon >0, \exists n_0 \in \mathbb{N} t.q. \ n \geq n_0 \Rightarrow \left( \forall x \in X ,\left|f_n(x) - f(x)\right|<\epsilon \right).
Si on a convergence uniforme alors:
\lim_{n \to +\infty}{\bigint_X}{f_n(x)}dx = \bigint_X{f(x)}dx d'où l'intérêt de la convergence uniforme éventuelle dans cet exercice.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:32

Par contre, la convergence simple nous dit juste que pour tout x, la suite f_n(x) converge.
La convergence uniforme implique la convergence simple.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:35

Encore une question ça veux dire quoi la notation ?
\Bigint_X{f(x)}dx

De plus, je ne voit qu'une fonction car pour chaque valeur de n on a une image.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:40

La notation \bigint_X{f(x)dx} veut dire que l'on intègre f sur X (dans la pratique c'est souvent un intervalle, j'aurais dû noter \left[a,b\right]).
Un exemple: on pose f_n(x) = x^n pour x \in \left[0,1\right].
Pour x \in \left[0,1\right[ on a \lim_{n \to +\infty}{f_n(x)dx} = 0 et f_n(1) = 1 pour tout n.
On peut montrer que la convergence est uniforme sur tout intervalle \left[0,a\right] avec 0<a<1.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:47

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ce que tu veux.
On étudie la convergence de quoi en faisant varier quoi ?

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:51

Dans le cadre de notre exercice j'essaie dans un premier temps de voir vers quoi nx -E(nx) converge quand n tend vers l'infini pour x dans \left[0,1\right].

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:53

Ensuite on va regarder si il y a convergence uniforme en appliquant un critère équivalent à la définition:
\lim_{n \to +\infty}\sup_{x \in \left[0,1\right]}\left|f_n(x)-f(x)\right| =0 en définissant f_n(x) = nx -E(nx).

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 20:57

C'est un peu plus clair mais tu auras du mal à montrer que ça converge vu que ça diverge de manière évidente.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:03

Ca se discute: tout dépend des valeurs de x. j'essaie déjà de traiter le cas où x est rationnel.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:04

Oui, j'y ai pensé aussi, mais la valeur que tu trouve dépend forcément de n : multiple ou pas du dénominateur premier.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:06

Ca converge déjà pour les rationnels: restent à voir les réels non rationnels.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:10

Non, ça diverge aussi pour les rationnel, c'est ce que j'ai expliqué.
Par exemple pour x=\fr{2}{3} si
n=3k, f_n(x)=0 \\ n=3k+1, f_n(x) = \fr{2}{3} \\ n=3k+2, f_n(x) = \fr{1}{3} \\
Donc ça diverge en +\infty, sauf erreur.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:11

Ah oui: si on pose x = \frac{a}{b} avec a \in \mathbb{Z} et b \in \mathbb{N}_* et n \in \bar{j} avec j \in \left\{ 0,\cdots,b-1\right\} on a f_n(x) = -E\left(j\frac{a}{b}\right): il y a en effet périodicité avec des valeurs non-constantes et donc pas de limite: fin de la route!

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:12

On ne peut donc pas suivre la piste de la ocnvergence uniforme car il y en a pas (elle n'est même pas simple).

Posté par
girdavAutre exo 30-06-09 à 21:15

Pour me faire pardonner voivi un autre exo.
Calculer:
\lim_{n \to +\infty}\bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:17

Intuitivement pour x\in\mathbb{R}\cap\mathbb{Q} ça diverge aussi.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 21:20

Bon, je crois que j'ai fait un peu trop de pc (et de velo) pour aujourd'hui,
je garde ton problème pour demain, et encore merci pour ces exos !

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 13:59

\begin{array}{l} \\ 0 > t > 1 \\ \\ 0 <- t <- 1 \\ \\ 1 < 1 - t < 0 \\ \\ 1 < {\left( {1 - t} \right)^n} < 0 \\ \\ {e^{ - t}} < {\left( {1 - t} \right)^n}{e^{ - t}} <0 \\ \\ \int\limits_0^1 {{e^{ - t}}dt < } \int\limits_0^1 {{{\left( {1-t} \right)}^n}{e^{- t}}dt}< 0 \\ \\ \frac{1}{{n!}}\int\limits_0^1 {{e^{- t}}dt < \frac{1}{{n!}}} \int\limits_0^1 {{{\left( {1-t} \right)}^n}{e^{ - t}}dt}<0 \\ \\ \end{array}

or {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{n!}}\int\limits_0^1 {{e^{-t}}dt} } \right)= 0

donc d'après le théorème des gendarmes, on a {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{{n!}}\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - t} \right)}^n}{e^{ -t}}dt} } \right) = 0

Donc la suite \left( {{u_n}} \right) est convergente. \left( {{u_n}} \right) converge vers 0.

le genre d'exercice qu'on a eu au bac dernière partie sur l'étude de fonction!

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:00

en parlant de bac, c'est demain les résultats....

Posté par
gui_toure : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:01

Euh Bill, presque toutes les inégalités sont fausses ...

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:08

comment ça?

Posté par
gui_toure : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:11

0 < -1 ?

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:14

inverse les symbole

erreur de frappe...

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:40

girdav>>

Juste un début car je cale...
On a \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} n e^{-x^2}dx

Bref, avec l'inégalité de la moyenne j'arrive à montrer que 0\le \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx \le 1.

Je vais y réfléchir encore un peu.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 14:55

J'essaie de voir si on ne peut pas encadrer e^{-x^2} et -e^{-x^2} par des polynômes via par exemple la formule de Taylor. Je crois que le fait que la somme soit alternée nous incite à envisager deux cas: n pair et n impair pour pouvoir couper la somme en deux: là où k est pair et là où k est impair.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 15:31

En effet, cette fois ci maple est d'accord avec toi , il y a bien 2 cas.
Moi qui croyais que t'avais la solution... un lien qui pourrait t'aider :
Cet exo est je crois très complexe, du moins pour mon niveau de terminale.

Je résume et continue :
\Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} n e^{-x^2}dx

\Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} erf(\fr{k}{n})-erf(\fr{k+1}{n})

Si n pair : \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n erf(0)+n erf(1)+2n\(\Bigsum_{k=1}^{\fr{n}{2}} (-1)^{k} erf(\fr{2k-1}{n})-erf(\fr{2k-2}{n})\)

Si n impair : \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n erf(0)-n erf(1)+2n\(\Bigsum_{k=1}^{\fr{n}{2}} (-1)^{k} erf(\fr{2k-1}{n})-erf(\fr{2k-2}{n})\)

Sauf erreur.
Après je pense qu'on peut trouver un taux d'accroissement pour se sortir de là !

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 15:33

2ème ligne c'est \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \(erf(\fr{k+1}{n})-erf(\fr{k}{n})\)

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 16:25

Je refais car j'ai fait des erreurs :

3$ \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} n e^{-x^2}dx

3$ \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \(erf(\fr{k+1}{n})-erf(\fr{k}{n})\)

Si n pair : 3$ \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n erf(0)+n erf(1)+2n\Bigsum_{k=1}^{\fr{n}{2}} erf(\fr{2k-1}{n})-erf(\fr{2k}{n})

Si n impair : 3$ \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =n erf(0)-n erf(1)+2n\Bigsum_{k=0}^{\fr{n-1}{2}} erf(\fr{2k+1}{n})-erf(\fr{2k}{n})

En posant 3$ X=\fr{1}{n} et a=\fr{2k}{n} :

3$ \lim_{n\to+\infty} n(erf(\fr{2k-1}{n})-erf(\fr{2k}{n})) = \lim_{X\to 0^+^} \fr{erf(a-X )-erf(a)}{X} = -(erf(a))^'=-e^{-\(\fr{2k}{n}\)^2}

et 3$ \lim_{n\to+\infty} n(erf(\fr{2k+1}{n})-erf(\fr{2k}{n})) = \lim_{X\to 0^+^} \fr{erf(a+X )-erf(a)}{X} = (erf(a))^'= e^{-\(\fr{2k}{n}\)^2}

d'où si n pair : 3$ \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx = n erf(1)-2\Bigsum_{k=1}^{\fr{n}{2}} e^{-\(\fr{2k}{n}\)^2}

si n impair : 3$ \Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =-n erf(1)-2\Bigsum_{k=0}^{\fr{n-1}{2}} e^{-\(\fr{2k}{n}\)^2}

Ouf ! Sauf erreur.
Ach ! Je vais m'arrêter là car je suis nerfé !

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 17:00

C'est quoi erf? Je teste même pas ^^ je sais pas comment faire tout ça ^^

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 18:07

j'allais poser la même question....

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 01-07-09 à 18:58

En fait cet exercice est tiré d'une de mes feuilles de TD de L2 (le précédent aussi, qui d'ailleurs avait plus sa place dans le topic que celui_ci). Ici il n'y a pas vraiment de calcul de primitive.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 02-07-09 à 12:08

Ici j'ai pris erf comme primitive de e^{-x^2} pour simplifier l'écriture, mais sa vraie définition c'est ça : .
A la 8ème et 9ème ligne, je suis passé aux limite en +\infty...je continuerai peut-être cette après midi.
Si je n'y arrive pas j'essaierai d'encadrer l'intégrale par la méthode des trapèzes.Je pense que ça peut marcher.

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 02-07-09 à 19:15

propose d'autres, de mon côté je peux toujours chercher sur le net...

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 07-07-09 à 02:11

Si tu veux encore des primitives à calculer j'en ai une petite la mais que tu risques de régler en 2 secondes ^^

         3$\Bigint \ \fr{1}{x+x\ell n(x)}

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 07-07-09 à 12:50

alors ces résultats?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 07-07-09 à 15:16

Je loupe la mention bien de 6 points.. ^^

J'ai eu 19 en maths 13,85 de moyenne générale

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 07-07-09 à 16:53

Félicitation Olive!

1 2 3 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !