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Suite du topic sur les primitives...

Posté par
bill159 29-06-09 à 23:48

et c'est reparti!

T'en a en réserve Olive?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 29-06-09 à 23:56

matovitch avait déjà créé une suite ^^

Sinon, Prouve que 3$\Bigint_0^1 \ \sqrt{x(1-x)}=\fr{\pi}{8}

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:08

voila ce que je propose,

propose 4 ou 5 d'un coup voila merci...

on gagnera du temps...

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:19

4$\fbox{1.}  On veut calculer 3$\cal{I}=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ \fr{\sin(2x)}{1+2\sin(x)} \ dx

         4$\bullet   Calcules 3$\cal{J}=\Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} \ \fr{\cos(x)}{1+2\sin(x)} \ dx

         4$\bullet   Calcules 3$\cal{I}+\cal{J} pour en déduire 3$\cal{I}




4$\fbox{2.}  3$\Bigint_{-\pi}^^{\pi} \ \fr{\sin(x)-x\cos(x)}{x^2} \ dx


Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:39

Pour le 1er:

\begin{array}{l} \\ J= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}dx= \frac{1}{2}}\times \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\cos \left( x \right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}dx = } \frac{1}{2}{\left[ {\ln \left( {1 + 2\sin \left( x \right)} \right)} \right]_0}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{1}{2}\left[ {\ln \left( {1 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)} \right] = \frac{{\ln 2}}{2} \\ \\ I + J = \int {\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}dx + \int {\frac{{\cos \left( x\right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}dx = \int {\frac{{\sin \left( {2x} \right) + \cos \left( x \right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}} } } dx = \int {\frac{{2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}dx} \\ \\ I + J= \int {\frac{{2\sin \left( x \right)\cos \left( x \right) + \cos \left( x \right)}}{{1 + 2\sin \left( x\right)}}dx}= \int {\frac{{\cos \left( x \right)\left( {2\sin \left( x \right) + 1} \right)}}{{1 + 2\sin \left( x \right)}}dx}= {\int {\cos \left( x \right)dx = \left[ {\sin \left( x \right)} \right]} _0}^{\frac{\pi }{2}} = 1 \\ \\ I + J = 1 \Rightarrow I = 1 - J \Leftrightarrow I = 1 - \frac{{\ln 2}}{2} \\ \\ \end{array}

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:43

Bonne méthode pour le calcul de 3$\cal{J} tu fais juste un erreur de calcul..

Le calcul de 3$\cal{I}+\cal{J} est juste !

Mais comme erreur de calcul précédement tu ne trouves pas la bonne valeur de 3$\cal{I}

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:46

Pour le 2ème:

f\left( x \right) = \frac{{\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{ - x\cos \left( x \right) + \sin x\left( x \right)}}{{{x^2}}}

f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x\cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{ - \left( {x\cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)} \right)}}{{{x^2}}} =- f\left( x \right)

la fonction est donc impaire...

f\left( { - x} \right) = \frac{{ - x\cos \left( x \right) - \sin \left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{ - \left( {x\cos \left( x \right) + \sin \left( x \right)} \right)}}{{{x^2}}} =- f\left( x \right)

on a finalement:

\int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)}}{{{x^2}}}} dx = 0

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:49

oui je réctifie pour le 1er:

\frac{1}{2}\left[ {\ln \left( {1 + 2\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)} \right)} \right] = \frac{{\ln 3}}{2}

I + J = 1 \Rightarrow I = 1 - J \Leftrightarrow I = 1 - \frac{{\ln 3}}{2}

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:50

C'est bien ! ^^

Et maintenant tu as la même intégrale pour la que 4$\fbox{2.} mais avec les bornes \Bigint_0^{\fr{\pi}{2}} tu trouves combien ?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:50

Oui pour le premier

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:50

bonne nuit, je vais pas veiller cette fois-ci...

propose en plein (5 par exemple) je les ferai en temps voulue...

+

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 00:52

^^ Faut encore que je trouve de l'inspiration ^^ tu en as encore 2 à faire

Bonne nuit

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 01:51

j'ai pas trouvé le sommeil propose en un autre... merci

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:16

pour le premier tout en haut, on peut appliquer la formule donnant l'air d'un demi cercle...

en connaissant l''équation d'un cercle, je trouve:

\int\limits_0^1 {\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} }= \frac{\pi }{8}

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:29

Re

Hum je ne crois pas que ce soit évident comme résultat ..

Cercle de centre quoi ? de rayon quoi?

( Ce n'est pas le demi-cercle de centre 0 et de rayon 1, il aurait dans ce cas pour équation y=\sqrt{1-x^2})

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:30

A oui et sinon tu as encore le calcul que je te propose à 00h50

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:30

oui c'est vrai, je vais essayer autre chose...

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:33

je peux essayer un changement de variable et mettre le centre O sur \frac{\pi }{4} et j'étudie la parité de la fonction?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:40

Si tu parles du calcul que je t'ais proposé avec les autres bornes,

Premièrement ça ne t'avancera pas ^^

Deuxièmement il y a beaucoup plus simple ^^

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:47

\frac{{\sin \left( x \right) - x\cos \left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos \left( x \right)}}{x}


\int {\frac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^2}}} - \frac{{\cos \left( x \right)}}{x}= } \int {\frac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^2}}}- \int {\frac{{\cos \left( x \right)}}{x}} }= \left[ {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right] + \int {\frac{{\cos \left( x \right)}}{x}}- \int {\frac{{\cos \left( x \right)}}{x}}= \left[ {\frac{{\cos \left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right]

sauf somnolence...

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:49

Pas d'accord ^^

Mais pas besoin de long calcul ^^ en voyant la fonction de départ tu devrais directement pouvoir conclure sur une primitive ^^

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:51

t'a raison j repéré mon erreur

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:53

je refais le calcul et je trouve {\left[ {\frac{{\sin \left( x \right)}}{x}} \right]}

mais ça doit être faux... on peut pas diviser par 0...

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 02:54

Good Night... j'y vais de ce pas, cette fois pas sur une victoire

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:00

Bien vu ^^ A oui je n'avais pas pensé à ce problème de borne ..

Donc pour rendre l'exercice à peine plus dure on prend au final 3$\lim_{y\to 0} \ \Bigint_y^{\fr{\pi}{2}} \ \fr{\sin(x)-x\cos(x)}{x^2} \ dx

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:00

Bonne nuit

Pourquoi pas sur une défaite ^^

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:01

Je voulais dire "pourtant pas sur une défaite" je sais pas pourquoi j'ai dis pourquoi ^^

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:05

{\left[ {\frac{{\sin x}}{x}} \right]_0}^{\frac{\pi }{2}} = 1 - {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) = 1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin x - \sin 0}}{{x - 0}}} \right) = 1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0

bien sûr si le post de 2:53 est juste...

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:06

Ben en fait erreur de calcul ... ^^ Sinon la méthode est bonne

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:09

où est l'erreur de calcul?

post de 2:47? 2:53? 3:05?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:10

De la première à la deuxieme égalité

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:13

de?

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:16

4$\fbox{3:05}

Sinon en prochain exercice,

Pour tout entier naturel non nul 3$n, on pose :

        3$\blue \fbox{u_n=\fr{1}{n!}\Bigint_0^1 \ (1-t)^ne^{-t} \ dt}

La suite 3$\(u_n\) est elle convergente ?

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:17

dans le post de 3:05 j'ai fait une erreur...

\frac{1}{{\frac{\pi }{2}}} - = \frac{2}{\pi } - 1

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:18

Voilà

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:19

ok mais j'ai l'impression de l'avoir déjà fait...
c'est du classique...
propose en un 2ème, celui là va s'épuiser vite fait ^^

Posté par
bill159re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:19

bonne nuit! je le fais demain

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:30

Bon ben si tu veux du plus dure, Voilà l'énoncé :

Pour tout entier 3$n, 3$n\ge 1 on définie 3$S_n par :

                  3$\fbox{S_n=\Bigsum_{k=1}^n \ \fr{1}{n+k}}

Ensuite en annexe on à la fonction inverse aveec les rectangles sous la courbe..
Voir ici

On a que les rectangles bleus dans l'exercice et le premier coté bleu correspond à la droite d'équation 3$x=n et ça jusqu'à 3$x=2n

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 03:31

J'ai oublié la question,

Montre que 3$\red S_n converge vers 3$\red \ell n(2)

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 04:15

Et trouve la primitive de

3$\fr{1}{x\(1+\ell n(x)\)}

Qui s'annule en 3$\pi

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 08:25

olive >> T'es sûr qu'on peut calculer l'intégrale que tu m'as donnée, car je trouve :

3$ \Bigint_0^1 \fr{1}{(2+x)\sqrt{1-x^2^}}dx , mais ça n'arrange pas les choses. ^^

Apparemment la réponse est \fr{\pi}{3sqrt{3}}.

Posté par
Gaxere : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 10:08

Bonjour,

Bill : Pour calculer la toute première intégrale, je te conseille de faire d'abord le changement de variable u = x - 1/2 , et regarder ce que tu trouves.
Bon courage

Posté par
girdavEncore un exercice! 30-06-09 à 10:21

Bonjour.
Tant qu'on y est voici un nouvel exercice.
Calculer:
\lim_{n\to +\infty} \bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right).e^{-x}}dx où E désigne la partie entière.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 12:07

Bonjour girdav !

Voici un début...
On a 3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx = \Bigsum_{k=0}^{n-1} \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} (nx-k)e^{-x}dx

d'où 3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx = \Bigsum_{k=0}^{n-1} n((\fr{k}{n}+1)e^{-\fr{k}{n}}-(\fr{k+1}{n}+1)e^{-\fr{k+1}{n}})

Là ça sent le Riemann..

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 12:14

Mince j'en ai oublié une partie :

3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx = \Bigsum_{k=0}^{n-1} n((\fr{k}{n}+1)e^{-\fr{k}{n}}-(\fr{k+1}{n}+1)e^{-\fr{k+1}{n}})+k(e^{-\fr{k+1}{n}}-e^{-\fr{k}{n}})

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 13:11

Bonjour matovitch.
L'idée est là en effet: couper l'intervalle pour se débarrasser de la partie entière et utiliser Chasles.
On a \bigint_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}{left( nx-k\right)e^{-x}}dx= \left[ \left(k-nx\right)e^{-x}\right]_{x=\frac{k}{n}}^{x=\frac{k+1}{n}} +n\bigint_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}{e^{-x}}dx \\ = -e^{-\frac{k+1}{n}} + n\left(e^{-\frac{k}{n}} -e^{-\frac{k+1}{n}}\right)
Pour sommer: on voit que le premier terme du dernier membre est le terme général d'une suite géométrique, et les deux derniers constituent une somme "télescopique": il y a beaucoup de termes qui se simplifient.

Posté par
olive_68re : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 13:58

Salut

Oui la réponse est bien 3$\fr{\pi\sqrt{3}}{9} et je l'ai calculer par changement de variable donc elle est calculable A tu lu le lien que je t'ai envoyé ? notemment avec les règles de bioche? Sinon ça m'étonnerais que tu trouves tout seul ^^

Et pour celle que a proposé girdav je reviens tout à l'heure là je vais partir ^^

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 15:06

Je résume et continue:
3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx = \Bigsum_{k=0}^{n-1} \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} (nx-k)e^{-x}dx


3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx = \Bigsum_{k=0}^{n-1} n((\fr{k}{n}+1)e^{-\fr{k}{n}}-(\fr{k+1}{n}+1)e^{-\fr{k+1}{n}})+k(e^{-\fr{k+1}{n}}-e^{-\fr{k}{n}})

3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx= \Bigsum_{k=0}^{n-1} -e^{-\frac{k+1}{n}} + n\left(e^{-\frac{k}{n}} -e^{-\frac{k+1}{n}}\right)

3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx= \fr{e^{-1}-1}{e^{\fr{1}{n}}-1}+n(1-e^{-\fr{1}{n}})\Bigsum_{k=0}^{n-1}e^{-\frac{k}{n}}


3$ \Bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx= \fr{e^{-1}-1}{e^{\fr{1}{n}}-1}+n(1-e^{-1})

On sent alors que ça converge vers une valeur réelle en raison de l'approximation affine de l'exponentielle en 0.

Bon, je dois y aller, mais il ne rete plus qu'a déterminer :

\lim_{n\to+\infty} \fr{e^{-1}-1}{e^{\fr{1}{n}}-1}+n(1-e^{-1}).

Sauf erreur.

Posté par
matovitchre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 17:55

Je continue et termine :

3$ \lim_{n\to+\infty} \fr{e^{-1}-1}{e^{\fr{1}{n}}-1}+n(1-e^{-1}) = \lim_{X\to 0^+} \fr{e^{-1}-1}{e^{X}-1}+\fr{1-e^{-1}}{X}

3$ \lim_{n\to+\infty} \fr{e^{-1}-1}{e^{\fr{1}{n}}-1}+n(1-e^{-1}) = \lim_{X\to 0^+}\fr{X(e^{-1}-1)+(1-e^{-1})(e^{X}-1)}{X(e^{X}-1)}


3$ \lim_{n\to+\infty} \fr{1-e^{-1}}{e^{\fr{1}{n}}-1}+n(1-e^{-1}) = \lim_{X\to 0^+} \fr{(e^{-1}-1)(e^{X}-X-1)}{X(e^{X}-1)}

or en appliquant l'Hospital une première fois :

3$ \lim_{X\to 0^+}\fr{e^{X}-X-1}{Xe^{X}-X} = \lim_{X\to 0^+}\fr{e^{X}-1}{Xe^{X}+e^{x}-1}

Une deuxième fois :

3$ \lim_{X\to 0^+}\fr{e^{X}-X-1}{Xe^{X}-X} = \lim_{X\to 0^+}\fr{e^{X}}{Xe^{X}+2e^{x}}=\fr{1}{2}

donc 3$\lim_{X\to 0^+} \fr{(e^{-1}-1)(e^{X}-X-1)}{X(e^{X}-1)}=\fr{1}{2}(1-e^{-1})

Ainsi 3$ \lim_{n\to +\infty} \bigint_0^1{\left(nx-E(nx)\right)e^{-x}}dx = \fr{1}{2}-\fr{1}{2e}.

Sauf erreur.

Posté par
girdavre : Suite du topic sur les primitives... 30-06-09 à 18:18

Je crains que tu n'ai oublié un facteur -e^{\frac{1}{n}} devant ta somme de termes d'une suite géométrique: ceci change le calcul de la limite.
Celle-ci peut d'ailleurs se calculer plus facilement via les développements limités.

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