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suite harmonique

Posté par
Moussa16 15-01-23 à 13:33

salut a tous et a toutes .

J'ai un petit souci concernant cette démonstration . je peux faire la démonstration en passant par la récurrence forte . Bien que cette dernière méthode n'est pas long , ni complexe , je veux passer par la récurrence simple .
J'aie essayer de faire mais je me blome dans un dernier cas qui ne me semble impassable . Mon travail est consigne dans le fichier en pdf ci-dessous .

Merci d'avance !

** Fichier supprimé ** *** modération > Image effacée. Merci d'utiliser les outils mis à ta disposition pour écrire les formules mathématiques  > Moussa16,    lire Q10 [lien]*

Posté par
Moussa16re : suite harmonique 15-01-23 à 20:40

U_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}} \\ U_{n+1}=\frac {a}{b}\;\;+\;\;\frac{1}{n+1}\;avec\;a\in (2\N+1)\;et\;b\in(2\N) \\\\U_{n+1}=\frac{2^{x}am+2^{y}c}{2^{x+y}mc} \;\;,\;(m,c)\in (2\N+1)\;|n+1=2^{x}m\;et\;b=2^{y}c\\\\Pour (x < y\;ou\;y< x)\; on\;a:\\\\U_{n+1}=\frac{2^{x-y}am+c}{2^{x}mc}\;ou\;U_{n+1}=\frac{am+2^{y-x}c}{2^{y}mc}\;\;(vraie \;pour\; les \;deux\; cas)\\\\Pour\;(x=y)\;on\;a:\\\\U_{n+1}=\frac{2^{z}k}{2^{x}mc} \;,\;am+c=2^{z}k\\\\le\;probleme \;est \;la \;: Comment \;montrer\;qu'on\;a\;uniquement\;x> y\;?

Posté par
Moussa16re : suite harmonique 15-01-23 à 20:42

veuillez m'excuser . Je n'avais pas remarque le fichier attache a ete supprime .

Posté par
Moussa16suite harmonique 2 16-01-23 à 10:06

salut a tous et a toutes .

J'ai un petit souci concernant cette démonstration . je peux faire la démonstration en passant par la récurrence forte . Bien que cette dernière méthode n'est pas long , ni complexe , je veux passer par la récurrence simple .
J'aie essayer de faire mais je me blome dans un dernier cas qui ne me semble impassable . Mon travail est le suivant  .

U_n=\sum_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}} \\ U_{n+1}=\frac {a}{b}\;\;+\;\;\frac{1}{n+1}\;avec\;a\in (2\N+1)\;et\;b\in(2\N) \\\\U_{n+1}=\frac{2^{x}am+2^{y}c}{2^{x+y}mc} \;\;,\;(m,c)\in (2\N+1)\;|n+1=2^{x}m\;et\;b=2^{y}c\\\\Pour (x < y\;ou\;y< x)\; on\;a:\\\\U_{n+1}=\frac{2^{x-y}am+c}{2^{x}mc}\;ou\;U_{n+1}=\frac{am+2^{y-x}c}{2^{y}mc}\;\;(vraie \;pour\; les \;deux\; cas)\\\\Pour\;(x=y)\;on\;a:\\\\U_{n+1}=\frac{2^{z}k}{2^{x}mc} \;,\;am+c=2^{z}k\\\\le\;probleme \;est \;la \;: Comment \;montrer\;qu'on\;a\;uniquement\;x> z\;?

Merci d'avance !

*** message déplacé ***

Posté par
GBZMre : suite harmonique 16-01-23 à 10:38

Bonjour,
Tu ne le dis pas clairement, mais si je comprends bien ton problème est de démontrer que tous les termes de la suite harmonique à partir du second sont des rationnels de forme réduite \dfrac{a}{b} avec a impair et b pair ?

*** message déplacé ***

Posté par
GBZMre : suite harmonique 16-01-23 à 11:12

Si c'est la cas, je te suggère d'essayer de montrer quelque chose de plus fort, par exemple formulé en termes de la valuation 2-adique de U_n (tu peux calculer les premiers termes de la suite harmonique pour conjecturer la bonne formulation).

*** message déplacé ***

Posté par
GBZMre : suite harmonique 16-01-23 à 11:12

le cas ...

*** message déplacé ***

Posté par
GBZMre : suite harmonique 16-01-23 à 11:14

Doublon : voir (Lien cassé)


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