Salut,

I est-il un groupe abélien de type fini?Je vois mal comment construire une application A-linéaire sur I si on ne sait pas du tout à quoi il ressemble!

Salut !


tu commence à m'intriguer là :p . les modules sur des anneaux non commutatif, je connais pas vraiment... et à vrai dire je ne connais personne qui étudie ca ^^
d'ou vient cette question ?

enfin... je vais y réfléchir un peu, mais je te promet rien...

au fait... qu'entendu par "A lineaire" ? pour la strucutre de module à gauche ? de module à droite ? les deux en meme temps ?

C'est une indication vraiment bizarre à un exercice vraiment tordu. C'est assez compliqué, mais en gros, pour s'en sortir j'ai besoin d'une telle application.
f est une application A-linéaire qui agit à droite sur I, c'est donc une application de I dans I qui vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et pour a dans A, on doit aussi avoir f(ax)=af(x).

Je mets l'exo en entier dans un autre topic, parce que même si je pense savoir comment résoudre l'indication, je vois pas trop le lien avec la permière question.

Voici le monstre: Le seigneur des anneaux (4/7): Anneaux simple et artinien.

Dans ce cas je te propose le raisonement suivant... peut-etre qu'il fonctionne.

déja on à une application qui vient assez naturellement à l'esprit, c'est x->xa, elle est bien A-lineaire, envoi x0 sur x0.a, le seul problème c'est qu'elle est pas de I->I.

en revanche, elle envoi A.x0 -> I donc tous ce qu'il te reste à faire, c'est montrer qu'elle peut s'etendre en une application de I->I

pour ca, je serais tenter d'utiliser Zorn : on considère l'ensemble des sous module à gauche M contenant x0 de I munie d'application lineaire de f:M->I qui envoi x0 sur x0.a, qu'on ordone par l'inclusion et le prolongement des application...

c'est clairement inductif, et non vide d'apres ce qu'on à dit, tous ce qu'il reste à faire c'est de montrer que l'element maximal est définie sur I tous entier...

Je vois pas trop pourquoi ça marcherait... le problème c'est qu'on ne sait pas prolonger des applications linéaires vu qu'on a pas une notion de supplémentaire sur les modules...
C'est fou ce qu'une trivialité absolue en ev peut devenir une vraie plaie en modules...

P'tet que je me suis mal pris, j'vais revoir ça.