Niveau Maths sup

tan 5 théta en fonction de tan théta

Posté par
Vendredi 06-09-08 à 14:24

Bonjour,
j'ai un exercice ou l'unique question est d'exprimer tan 5 théta en fonction de tan théta, théta étant bien entendu un réel.

J'ai essayé avec tan = sin / cos, de bidouiller avec les formules trigo, etc., mais mon seul résultat à été de retomber sur tan 5 théta = sin 5 Th / cos 5 théta. Voilà. Je suis un peu inquiet car le professeur a dit que l'exercice était facile .

Merci bien.

Posté par re : tan 5 théta en fonction de tan théta 06-09-08 à 15:53

Bonjour, Vendredi

$\cos 5\theta + i\sin 5\theta= (\cos\theta+ i\sin\theta)^5= \cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+ 5\cos\theta\sin^4\theta +i\left( 5\sin\theta\cos^4\theta-10\sin^3\theta\cos^2\theta+\sin^5\theta\right)$

Donc:

$\tan 5\theta =\frac{ 5\sin\theta\cos^4\theta-10\sin^3\theta\cos^2\theta+\sin^5\theta}{ \cos^5\theta-10\cos^3\theta\sin^2\theta+ 5\cos\theta\sin^4\theta }$

On divise numérateur et dénominateur par $\cos^5\theta$ et on obtient l'expression de $\tan 5\theta$ en fonction de $\tan \theta$