Vesprian @ 03-10-2020 à 22:28
Pardon, je m'excuse.
Voici donc le théorème :
Soit f: l'application de E dans F.
Théorème 1:F est bijective si et seulement si il existe une application g de F dans E telle que:
- g o f=idE
- f o g=idF
Tu souhaitais savoir comment obtenir ce résultat.
C'est une double implication.
1- On va commencer par supposer que f est bijective, et on va montrer l'existence de g.
Comme f est injective, alors pour tout x,y deux éléments différents de E alors f(x), f(y) sont deux éléments différents de F.
Comme f est surjective, alors pour tout élément y de F, il existe un élément x de E tel que y = f(x). D'après l'injectivité, ce y est unique.
On peut donc monter une application g : F -> E telle que pour tout y de F, on fasse correspondre l'unique x de E tel que y = f(x) et
on pose g(y) = x.
Par suite immédiate de cette définition il vient que x = g(y) = g(f(x)) et donc g o f = Id
E.
De même, si y est élément de F, alors x = g(y) est l'unique élément de E qui soit en correspondance avec y par f. Donc f(g(y)) = y et f o g = Id
F
2- On suppose qu'il existe une application g telle que g o f = Id
E et f o g = Id
F. Montrons que f est bijective.
f est injective : si on prend deux éléments x,y de E tels que f(x) = f(y) alors g o f(x) = g o f(y) et donc x = y.
f est surjective : si y est élément de F alors on a f o g(y) = y et g(y) est donc un antécédent de y dans E.
Conclusion : f est bijective
Citation :
Théorème 2: Quand g existe, elle est aussi bijective et est unique, c'est pourquoi on l'appelle (application) réciproque de f et la note f^-1.
Si une telle g existe, alors elle vérifie également les propriétés du théorème 1 et est donc bijective.
Montrons qu'elle est unique.
S'il en existait une autre, notée g' et vérifiant les mêmes propriétés, alors on aurait un y dans F tel que g(y)
g'(y).
Mais par injectivité de f on aurait f(g(y))
f(g'(y)), c'est-à-dire y
y. Absurde.
Ainsi, g a le privilège de pouvoir être notée f
-1.