petite erreur, je dois montrer que et
je vous avoue que je ne comprend même pas la donné, car pour moi, si , je ne vois pas comment il peut être dans !! bref, un petit coup de pouce serait bienvenue !
merci

La 1ère implication est évidente: si x A alors xB (AB) donc xA(barre)B

A B
<=> x A, x B
=>   x A, x B Abar

reste la réciproque...

Bonsoir, donc tu dois démontrer cette propriété dans les deux sens. Faisons le premier :
Si AB alors xA xB x B donc dans ce sens là c'est vrai.

Démontrons la réciproque. On sait que xA alors x B et on veut démontrer qu'alors ça implique que AB

Supposons que A ne soit pas inclus dans B. Alors y : yA et yB
mais si yA y B et comme y B c'est que y mais y ne peux pas appartenir à la fois à A et à donc y n'existe pas et AB

merci pour toute vos démonstration, elles sont très clair et compréhensible !!
Mais l'ennuie c'est que schématiquement je n'arrive pas à me le représenter. En fait, cet exercice est pour nous dire que est équivalent à . Pourriez-vous à l'aide des ensembles m'illustrer schématiquement que est bien équivalent à
Merci
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L'illustrer avec les ensembles... je ne vais pas savoir te répondre.

par contre, l'équivalence (P => Q) <=> non(P) ou Q
s'établit également en montrant que les deux propositions
ont même table de vérité.

Bonsoir

Quandon travaille sur des ensembles, il faut toujours se donner un ensemble " de référence". Donc si A et B sont deux parties d'un ensemble E et A B, pour un x de E quelconque, de deux choses l'une: soit x A, soit x A et donc puisque A B, x B. Au final, soit x A, soit x B, et donc x /A B.

Par contre si A n'est pas inclus dans B, il existe un x qui est dans A et pas dans B, et qui donc n'est pas dans /A B.

bonsoir,

Oui, enfin bon... Puisque A B, si x A, alors x B, et donc il appartient à n'importe quoi B, donc à /A B. Menfin je ne pense pas que ça prouve l'équivalence entre A => B et A B.

désolé d'insister, mais je suis en effet d'accord avec vos démonstrations, mais j'ai toujours du mal à visualiser "graphiquement" ce concept !

Par exemple, si , on peut dessiner deux ensembles tels que est dans . Et donc si je met un élément dans , je vois graphiquement qu'il est bien dans .

Si maintenant je devais dessiner les ensembles et tel que si , alors on a que .

Car si alors et donc, il peut être soit dans soit dans et la façon dont je dessinerais cet ensemble serait en fait comme deux ensembles distincts.

Voici un schéma illustrant ma façon de voir (en haut) et (en bas). Désilé, mon webcam inverse les image.
Comme vous verrez pour   je vois 3 cas différents. En bleu c'est l'ensemble cherché et en vert, c'est "une incertitude" sur l'appartenance de cette partie.

dites moi ce que vous en pensez !

Les schémas 1 et 2 ne satisfont pas au "Pour tout x A"

Quand les ensembles A et B sont disjoints (schéma 1), il est clair que x Abar B
car  Abar B est l'ensemble Abar
Et x ne peut être à la fois dans A et dans Abar

Quand les ensembles A et B s'intersectent (schéma 2), x Abar B seulement dans l'ensemble A B;
ET c'est pareil si B est inclus dans A, x Abar B seulement dans l'ensemble A B;
Et A B n'est pas l'ensemble A en entier, sauf si A B.

J'espère que mes explications vont t'aider un peu.

ce que je comprend pas dans vos explications du schéma 2, si comment peut-il être dans si il est dans ? car si il est dans , alors et ne peut donc pas être dans

alors schéma 2.

x A
on ne dit pas que x Abar
mais que x Abar B

or, dans ce cas d'espèce, Abar B
est bien Abar (A B)

mais si , le cas n'est pas exclu, non ?

si, le cas x Abar est exclus
puisque x A

le x de A se retrouve donc seulement dans le sous-ensemble
de B qui est en intersection avec A.

parfait, c'est très clair ^^
enfin
bonne soirée

mais ceci dit, je comprend pas pourquoi on ne se complique à dire que si car de toute façon il ne sera pas dans et il sera uniquement dans !! bref !!!

c'est pas ça le raisonnement.

si on arrive à dire que POUR TOUT ELEMENT x de A
x appartient également à (Abar B)
alors on pourra dire que A B

en effet, j'était pas du tout dans cette optique de raisonnement !!!
parfait, le sujet est définitivement clos !!!
merci beaucoup pgeod !!
bonne soirée