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Théorie des ensembles

Posté par
matheux14
02-10-21 à 20:39

Bonsoir,

Soient A, B, C des parties d'un ensemble E. Dire si les propositions suivantes sont vraies. (Justifier vos réponses !)

Théorie des ensembles
Théorie des ensembles

Posté par
matheux14
re : Théorie des ensembles 02-10-21 à 20:49

Théorie des ensembles

Pour 1) c'est vrai car A \subset B \iff A \subset B = B \iff A \subset B= B

2) Je crois que c'est vrai mais je n'arrive pas à le démontrer..

Posté par
bernardo314
re : Théorie des ensembles 02-10-21 à 21:32

Bonjour,
Je ne comprends pas ta "preuve" de  1).

Posté par
philgr22
re : Théorie des ensembles 02-10-21 à 21:43

Bonsoir :juste une remarque supplementaire : tu ecris qu'une phrase a la meme signification qu'une egalité...???? Je vous laisse.

Posté par
matheux14
re : Théorie des ensembles 02-10-21 à 21:44

Oups

Citation :

Pour 1) c'est vrai car A \subset B \iff A \cup B = B \cup B= B

Posté par
bernardo314
re : Théorie des ensembles 02-10-21 à 23:00

ce n'est pas faux mais je ne vois pas de preuve, il faut rédiger je pense

Posté par
matheux14
re : Théorie des ensembles 02-10-21 à 23:12

A est inclus dans B équivaut à dire que tous les éléments de A sont dans l'ensemble B. Donc l'ensemble des éléments appartenant à A ou à B est l'ensemble B.

Posté par
matheux14
re : Théorie des ensembles 03-10-21 à 23:14

Posté par
carpediem
re : Théorie des ensembles 04-10-21 à 00:22

et si tu finissais déjà celui-là : Égalité d'ensembles.

Posté par
matheux14
re : Théorie des ensembles 17-11-21 à 00:43

Posté par
mousse42
re : Théorie des ensembles 17-11-21 à 22:40

Salut,

A\subseteq B\iff A\cup B=B

Tu as deux implications à montrer :

La première : (\implies)

On suppose que A\subseteq B et tu dois montrer que A\cup B=B
Pour montrer cette égalité, tu dois montrer la double inclusion puisque  :

  A\cup B=B\iff A\cup B\subseteq B $ et $ B\subseteq A\cup B

On suppose x\in A\cup B dit autrement on a x\in A ou x\in B, On a une disjonction de cas (2 cas), dans le premier cas on a x\in A, l'hypothèse dit que A est dans B donc x est dans B, le second cas te dit directement que x est dans B, on conclut donc que x\in B, on vient de montrer la premier inclusion.
Pour le reste, je te laisse finir avec la seconde inclusion.

La seconde  : (\Longleftarrow)

On suppose que A\cup B=B et on veut montrer que A\subseteq B

Soit x\in A...

Posté par
mousse42
re : Théorie des ensembles 18-11-21 à 11:26

Salut,
Puisque c'est un sujet qui date, je te donne un autre exemple détaillé pour t'aider à rédiger une preuve.

On veut montrer A\subseteq B\iff \bar A\cup B=E
______________________________________________________________________
On montre la première implication A\subseteq B\implies \bar A\cup B=E

On suppose que A\subseteq B, et on cherche à montrer que \bar A\cup B=E

La première inclusion \bar A\cup B\subseteq E est triviale. Il nous reste à montrer que \bar A\cup B\supseteq E.

Soit x\in E. On a soit x\in A ou x\in \bar A, si x\in \bar A on a bien x\in \bar A\cup B, et si x\in A, l'hypothèse nous dit que A est dans B, par conséquent x\in B d'où x\in \bar A\cup B c'est à dire que \bar A\cup B\supseteq E

On conclut que puisque \bar A\cup B\supseteq E et \bar A\cup B\subseteq E on a  \bar A\cup B=E


______________________________________________________________________
On montre la seconde implication \bar A\cup B=E\implies A\subseteq B

On suppose que \bar A\cup B=E et on cherche à montrer que A\subseteq B

Soit x\in A. Puisque x\in E et que l'hypothèse nous dit que \bar A\cup B=E, on déduit que   x\in \bar A ou  x\in B or x n'est pas dans \bar A puisqu'il est dans  A, par conséquent il ne peut être que dans B d'où A\subseteq B

______________________________________________________________________

On vient de montrer les deux implications par conséquent la proposition A\subseteq B\iff \bar A\cup B=E est vraie

Posté par
mousse42
re : Théorie des ensembles 18-11-21 à 11:28

Bon courage pour le reste



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