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Tirages successifs avec remise
Posté par Guillaume19
Bonjour,
J'aurais besoin de savoir si mon raisonnement sur cette exercice est juste, es ce que quelqu'un serait assez aimable pour y jeter un petit coup d'œil merci !
Enoncé :
On dispose de n + 1 urnes U0, . . . ,Un contenant chacune N boules
dont certaines sont rouges et d'autres blanches. Pour tout 1 ≤ i ≤ n, l'urne Ui
contient une proportion i/n de boules rouges, et 1 − i/n de boules blanches. On
choisit une urne uniformément au hasard parmi U0, . . . ,Un, et l'on effectue des
tirages successifs avec remise (uniformes et indépendants) dans l'urne choisie. Si
l'on n'a obtenu que des boules rouges au cours des p premiers tirages, comment
évaluer la probabilité d'obtenir une boule rouge au p + 1−ème tirage ? Que se
passe-t-il lorsque n tend vers l'infini ? Le résultat est appelé loi de succession de
Laplace1 Application (quelque peu tirée par les cheveux) : sachant que le Soleil s'est levé chaque matin au cours des 2000 dernières années, quelle est la probabilité pour
que celui-ci se lève demain ?
Réponse:
On suppose qu'il n'y a que des boules blanches dans l'urne U0 (l'énoncé ne donne aucune information sur cette urne …). On suppose de plus qu'on peut avoir un nombre réel positif de boules dans une urne (ex : pour N = 13 et n = 5 on a 2.6 boules rouges et 11.4 boules blanches dans U1).
On se place dans l'urne Ui qui contient donc iN/n boules rouges et 1 - iN/n boules blanches. Sachant que les tirages sont indépendants les uns des autres (tirages successifs avec remise), la probabilité de tirer une boule rouge au n+1 ème tirage sachant que l'on n'a obtenu que des boules rouges au cours des p premiers tirages est la même que celle de tirer une boule rouge au premier tirage et qui est de : i/n.
Donc la probabilité de tirer une boule rouge au n+1 ème tirage sachant que l'on n'a obtenu que des boules rouges au cours des p premiers tirages est égale à :
1/(n+1)* (somme(i=0,n) des i / n) = 1/2
Lorsque n tend vers l'infini, la probabilité de tirer une boule rouge au p+1 ème tirage sachant que l'on n'a obtenu que des boules rouges au cours des p premiers tirages tend vers 1/2.
Merci,
alors effectivement, je ne vois pas l'intérêt du "p" !!!!
en fait, l'énoncé se résume à ceci : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dedans. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge !
comme tu l'as montré, cela vaut toujours 1/2 ! Pour tout n !
donc peu d'intérêt aussi à faire tendre n vers l'infini !
mm
Oui cette exercice n'a pas grand intérêt c'est sur ! Car les p tirages ne se font pas sur une même urne ! A chaque p on en choisi une autre au hasard !
Mais bon c'est un exercice de mon DM, donc l'intérêt qu'il soit grand ou pas ne m'aide pas !
Merci alors si tu dis que mon raisonnement est juste ^^
alors l'énoncé ne me paraît pas clair !
on choisit une urne au hasard et on effectue des tirages avec remises .... d'après ce que tu dis, les p tirages se font dans l'urne choisie ! non ?
bon, donc p ne sert à rien !
tu as copié rigoureusement l'énoncé tel qu'il est écrit ? au mot près ?
Oui au mots prés ^^
On dispose de n + 1 urnes U0, . . . ,Un contenant chacune N boules
dont certaines sont rouges et d'autres blanches. Pour tout 1 <= i <= n, l'urne Ui
contient une proportion i/n de boules rouges, et 1 − i/n de boules blanches. On
choisit une urne uniformément au hasard parmi U0, . . . ,Un, et l'on effectue des
tirages successifs avec remise (uniformes et indépendants) dans l'urne choisie. Si
l'on n'a obtenu que des boules rouges au cours des p premiers tirages, comment
évaluer la probabilité d'obtenir une boule rouge au p + 1−ème tirage ? Que se
passe-t-il lorsque n tend vers l'infini ? Le résultat est appelé loi de succession de
Laplace1 Application (quelque peu tirée par les cheveux) : sachant que le Soleil s'est
levé chaque matin au cours des 2000 dernières années, quelle est la probabilité pour
que celui-ci se lève demain ?
Oui depuis le début ! ^^
n+1 le nombre d'urnes et N le nombres de boules blanches et rouges dans chacune des urnes !
remarque que le "N", on s'en moque puisqu'on nous donne directement la proportion (N doit fatalement être un multiple de n, sinon il y a des morceaux de boule 
)
bon, je vais essayer de clarifier cela pour que l'énoncé présente un intérêt !
on dispose de (n+1) urnes contenant des boules rouges ou blanches.
dans l'urne n°i (0
in), la probabilité de tirer une boule rouge vaut i/n (et donc fatalement, 1-i/n de tirer une blanche)
Expérience E : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dedans, on note sa couleur et on remet la boule dans l'urne.
soit p un entier.
On répète p fois l'expérience E.
Calculer la probabilité qu'en répétant une nouvelle fois l'expérience E on obtienne une boule rouge, sachant qu'on a obtenu précédemment p boules rouges.
on peut le comprendre comme cela (il est assez mal tourné à l'origine !)
non ?
de toutes façons cela revient au même !
les expériences E successives sont indépendantes.
au cours de l'une d'entre elle, la probabilité de tirer une rouge vaut 1/2 (tu l'as montré)
la probabilité cherchée est une probabilité conditionnelle qui se ramène à
P(tirer (p+1) boules rouges) / P(tirer p boules rouges)
donc (1/2)p+1 divisé par (1/2)p
et donc toujours 1/2
je dirais : énoncé peu clair et ambigu... voire incompréhensible !
Oui comme cela c'est plus clair, mais bon c'est un prof un peu bizarre qui c'est pas se faire comprendre !!
Merci bcp de ton aide
Bonne soirée.