Niveau Maths sup

Transformation d une expression

Posté par
scottisit 08-09-08 à 22:23

Bonsoir
Je suis confronté à un probleme pour une question:

Soit a , b et c trois nombres reels
1) On suppose que et a et b sont differents de 0

a) Montrer qu'il existre un nombre réél tel que quelquesoit x appartenant à R : acos x + bsinx = a²+b² cos(x- )

On pourra factoriser acosx +bsinx par a²+b²

J'ai bien vu la forme trigo, mais je n'arrive pas à obtenir l'expression demandé avec la factorisation !

Merci pour votra aide

Posté par re : Transformation d une expression 08-09-08 à 22:33

Salut

$3$a cos(x)+bsin(x)=\sqrt{a^2+b^2}$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}cos(x)+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}sin(x)$$

Or $3$ $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}$^2+$\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}$^2=1$

Donc il existe $3$\theta$ tel que $3$cos \theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}$ et $3$sin \theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}$

Ainsi: $3$a cos(x)+bsin(x)=\sqrt{a^2+b^2}$cos(\theta)cos(x)+sin(\theta)sin(x)$=\sqrt{a^2+b^2}cos(x-\theta)$