Bonjour !
J'ai quelques petits problèmes pour faire le lien entre les tranposées et les matrices inversibles. Enfin, voici mes questions (ce sera plus clair) :
Soit B = t(A) la transposée de A.
J'ai réussi à montrer que :
Pour tout complexe z, B - zI est inversible <=> A - zI est inversible.
Par contre, je n'arrive pas à :
* conclure que A et B ont les mêmes valeurs propres.
* trouver une base du sous-espace propre de B associé à une valeur propre k de B.
Merci de votre aide
Bon je précise un peu :
On a aussi B-zI non inversible <=> A-zI non inversible.
On a donc Ker(B-zI) et Ker(A-zI) non réduit à 0, donc z est valeur propre commune à A et B.
Bonjour infophile et merci de ton aide.
J'ai bien compris grâce à toi, merci.
Pour la deuxième question, je ne vois pas trop ce que je dois chercher ou faire en fait... Tu pourrais m'expliquer ?
Oups, j'ai oublié de préciser que :
C =
( 0 ... ... ... 0 -a0 )
( 1 0 0 ... ... 0 -a1 )
( 0 1 0 ... ... 0 -a2 )
( 0 0 1 ... ... 0 -a3 )
( ... ... ... ... ... )
( 0 0 ... ... 0 1 -a(n-1) )
avec a0, a1, ..., a(n-1) complexes quelconques.
Bon alors déjà tu transposes A puisque nous celle qui nous intéresse c'est B.
Tu as donc
Soit une valeur propre de , on cherche les vecteurs propres associés donc on écrit le système :
Tu effectues le produit matriciel et tu obtiens le système :
Tu remarques que sinon est le vecteur nul, ce qui est exclu.
Et donc tu vois que les vecteurs propres sont de la forme :
Remarque : La dernière ligne du système te permet aussi de montrer que où .
Ce qui est normal car c'est le polynôme caractéristique de qui est la matrice compagnon.
Je te fais également remarquer que bien qu'ici nous avons montrer explicitement que les sous-espaces propres étaient de dimension 1, il était possible de prévoir ce résultat avant.
En effet si tu considères la matrice
La matrice extraite privée de la dernière ligne et la dernière colonne est inversible car de déterminant .
On a donc mais n'est pas inversible donc .
On a applique alors le théorème du rang : et on en conclut
Wahou, merci beaucoup pour toutes ces explications, c'est parfait merci encore...
Un grand merci infophile, bonne soirée et bon week end à toi !
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