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Niveau terminale
triangle isocele inscrit dans un cercle
Posté par vincent91 (invité)
voila , je vous passe les questions que j ai deja faites, la figure est la suivante :
soit un tiagne ABC isocele en A inscrit dans un cercle c de centre O de rayon OC
Soit H le pied de la hauteur isue de A passant pas O l angle(HOC)= alpha
J ai trouvé d apres mes precedents calculs que alpha=Pi/3 (pour que l aire de ce triangle soit maximale). on me demande alors la nature de ABC, je serais pret à dire que ABC est equilateral, mais je n ai aucun souvenir d une proprieté ou theoreme qui me permette de le prouver
ca doit etre un truc tres simple mais apres quelques heures de mathematiques acharnées ca m est completement sorti de l esprit
en esperant une reponse...
Vincent
Posté par vincent91 (invité)re : triangle isocele inscrit dans un cercle
un petit up , s il vous plait 
Bonsoir
D'après moi il n'y a pas de Maximum
Il doit manquer quelque chose dans l'énoncé
Je serais curieux de voir tes calculs
A+
Posté par vincent91 (invité)re : triangle isocele inscrit dans un cercle
je post ca demain, mais c est un brouillon c est pas dit que tu comprennes ce que j ai mis :p
l ennoncé ne nous fait pas douter du fait qu il y ait un maximale ( demonstrer qu il existe une valeur de alpha pour laquelle l aire de ABC est maximale)
pour dire rapidement , on considere f(x)=sinalpha(1+cosalpha) la fonction representative de l aire , en derivant cette fonction ( f'(x)=2cos²(alpha)+cos(alpha)-1 ), en factorisant le resultant ( f'(k)=(cosalpha+1)(2cosalpha-1) ) , et en tracant un tableau de variation, on montre que la fonction est croissante puis decroissante , avec un maximum relatif en Pi/3
je sais pas si c est clair pour toi ....
PS: on etudie la fonction sur [0;Pi/2]
voila , je devrais rendre ce devoir jeudi donc si je pouvais avoir un element de reponse avant :p
Bonjour
Calcul de aire de ABC = BC*AH/2 = OC*sin(
)*AH = OC*sin()*(AO+OH) = OC*sin()*(OC+OC.cos())
et si OC=1 aire de ABC = bien sin()(1+cos())
*
l'aire du triangle étant donnée par f() = sin()*(1+cos()) alors je suis d'accord pour dire que f '() = (cos()+1)*(2cos()-1) et que l'on a bien un Maximum pour () = pi/3 et dans ce cas le triangle est équilatéral car AC/2 = OC*sin(pi/3) et comme OC = BC/(2*sin(pi/3)) => AC = BC
( l'angle AOC valant 2pi/3 et la moitié pi/3)
A+
bonjour
le triangle ABC est isocele en A donc vous montrez que l'angle BAC=PI/3 il ABC est donc équilatéral.
La hauteur AH est aussi axe de symétrie de ABC car il est isocèle.
donc l'angle BOH=HOC=Pi/3
donc BOC=2HOC=2Pi/3
l'angle au centre BOC soustend le même arc BC que l'angle au sommet BAC
donc BAC=BOC/2= Pi/3
comme ABC est isocele en A donc il équilatéral
Posté par vincent91 (invité)re : triangle isocele inscrit dans un cercle
merci à vous deux pour vos reponses
Geo3 : je ne comprend pas ton raisonnement à partir de :
Citation :
AC/2 = OC*sin(pi/3) et comme OC = BC/(2*sin(pi/3)) => AC = BC
( l'angle AOC valant 2pi/3 et la moitié pi/3)
serait ce trop te demander de me le réexpliquer un de facon plus simple? :$
AC/2 = OC*sin(pi/3) et comme OC = BC/(2*sin(pi/3)) => AC = BC
( l'angle AOC valant 2pi/3 et la moitié pi/3)
watik : en quoi montrer que BAC=PI/3 prouve que le triangle est equilateral s il vous plait ? et
Citation :
l'angle au centre BOC soustend le même arc BC que l'angle au sommet BAC
donc BAC=BOC/2= Pi/3
n est pas tres clair pour moi
l'angle au centre BOC soustend le même arc BC que l'angle au sommet BAC
donc BAC=BOC/2= Pi/3
Merci encore pour le temps que vous daignez m accorder
Re
Dans le triangle HOC rectangle en H un côté de l'angle droit HC=BC/2 vaut l'hypoténuse (OC) fois le sinus de l'angle opposé ou le cosinus de l'angle adjacent
=> BC/2 = OC*sin()
*
Dans le triangle AOC isocèle de sommet O l'angle AOC = 2pi/3 lorsque = pi/3 ( la somme = 1 plat = pi) . Si K est le milieu de AC le triangle OKC est rectangle en K et l'angle KOC est la moitié de 2pi/3 ç-à-d pi/3 . Dans ce triangle KC =AC/2 = OC.sin(pi/3) => OC = AC/(2.sin(pi/3))
donc BC/2 = OC*sin(pi/3) = AC/(2sin(pi/3))*sin(pi/3)) = AC/2 => BC = AC
A+