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triangle, médiane et vecteurs
Bonjour, j'aurai besoin de votre aide >.< !! Merci d'avance pour vos réponses!
Voici l'énoncé:
Soient A B et C trois points du plan non alignés, on note:
A' le milieu du segment [BC], B' le milieu du segment [AC], C' milieu du segment [AB] et D l'image de B par la translation de vecteurs AC.
On rappelle le résultat suivant, vu au collège:
Les trois médianes du triangle ABC sont concourantes. Le point de concours ou centre de gravité, est situé au deux tiers en partant du sommet de chaque médiane.
On admet qu'il y a un point unique G du plan tel que la somme des vecteurs GA + GB + GC = 0.
1. Montrer que le point G appartient à la médiane issue de A.
2. Montrer que AG = 2/3AA'.
3. Prouver alors le résultat vu au collège.
Je sais que ABDC est un parallélogramme et que, donc, G est le point d'intersection de ses diagonales. Aussi A' a pour coordonnées (O,5; 0,5) et que, donc, les vecteurs AA' = 0,5AB + 0,5AC. De plus, D a pour coordonnées (1;1). Mais même avec tout ça je ne vois pas comment répondre aux question ><!
1. Sans coordonnées, tu pourrais d'abord chercher à exprimer le vecteur GA' en fonction des vecteurs GB et GC.
Je ne vois pas comment faire en fonction des vecteurs GB et GC.
Mais j'ai trouvé:
AA' = AG + GA' = 1/2AD
Je ne pense pas être sur la bonne voie.....
Le plus simple serait de décomposer, selon Chasles, le vecteur GA' deux fois, en passant par B puis en passant par C, et d'additionner les résultats.
J'ai trouvé les vecteurs : GA = GB + BA
et après avoir développer avec la relation de Chasles, j'ai trouvé : GA = GA....
Aussi, j'ai oublié une quatrième question, quel est le couple de coordonnées de G dans le repère (D, DB, DC) ? avec les vecteurs DB et DC.
Le plus simple serait de décomposer, selon Chasles, le vecteur GA' deux fois, en passant par B puis en passant par C, et d'additionner les résultats.
en parlant d'additionner les résultats, c'est appliquer la relation de Chasles ??
A partir de GA' = GB + BA + AC + CA'
j'ai trouvé ; AA' = AG + GA'
Et avec cette dernière relation je peux prouver que G appartient à la médiane issu de A qui est AA' n'est-ce pas ?
Si c'est bon, je pourrai une nouvelle fois de l'aide sur la quatrième question étant donné que j'ai pu entre temps trouvé la 2 et 3 ?
Aussi, j'ai oublié une quatrième question, quel est le couple de coordonnées de G dans le repère (D, DB, DC) ? avec les vecteurs DB et DC.
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