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Niveau Reprise d'études
Tribu et dénombrabilité
Posté par Jepoti213
Soit E un ensemble.
= { A C E tel que A dénombrable ou Ac dénombrable }
Montrer que pour tout A,B 
, AUB
Je voudrais savoir si on doit faire 4 cas :
Si A et B dénombrable
Si A et Bc dénombrable
Si Ac et B dénombrable
Si Ac et Bc dénombrable
Ou si 2 cas suffit :
A et B dénombrable
Ac ou Bc dénombrable
Merci !
Bonjour Jepoti213.
En fait, c'est plus simple que cela. Tu as seulement ces deux cas à observer :
- A et B sont dénombrables.
- l'un des deux au moins est codénombrable.
Pour le premier, la réponse est immédiate, la réunion est dénombrable.
Pour le second, la réponse est "presque" immédiate.
Si A et B sont dénombrable alors l'union de A et B est dénombrable ok
Si Ac ou Bc est dénombrable
(AUB)c = Ac 
Bc
mais je vois pas trop...
Je dois aussi montrer que est une tribu :
E
Pour A donc A dénombrable ou Ac dénombrale
Donc Ac dénombrable ou (Ac)c=A dénombrable donc OK
Mais pour l'union j'ai un petit peu de mal :
Soit An dans pour n entier naturel,
Si An dénombrable alors l'union est dénombrable ok
Si Anc dénombrable, 
(Anc) = ( An )c ...?
Je dois aussi montrer que pour P = {E}U{ACE, A fini} j'ai 
(P)=
P 
(je sais pas trop le justifier)
et tribu donc (P)
Soit A
Si A dénombrable alors on peut écrire A = {a} pour a dans A donc A est fini donc dans P donc dans (P)
d'ou l'inclusion
mais pour le coté Ac dénombrable j'ai du mal..
Citation :
Si Ac ou Bc est dénombrable
(AUB)c = AcBc
mais je vois pas trop...
Si Ac ou Bc est dénombrable
(AUB)c = Ac
Bc
mais je vois pas trop...
Si
jsvdb @ 21-10-2021 à 23:18
Si
est dénombrable, alors pour n'importe quelle partie X de E, 
... conclusion ?
Citation :
Si Ac ou Bc est dénombrable
(AUB)c = AcBc
mais je vois pas trop...
Si Ac ou Bc est dénombrable
(AUB)c = Ac
Bc
mais je vois pas trop...
Si
Donc comme Ac ou Bc est dénombrable c'est inclu dans un ensemble dénombrable donc c'est bien dénombrable ?
jsvdb @ 21-10-2021 à 23:21
Si t'as compris le post au-dessus, alors montrer que est une tribu est un jeu d'enfant.
Si t'as compris le post au-dessus, alors montrer que
est une tribu est un jeu d'enfant.Vu que Anc est dénombrable il existe un no telle que Ano est dénombrable et l'intersection dès complémentaire de An est inclu dans Ano donc c'est dénombrable ?
Oui, si (ou
ou les deux) est (sont) dénombrable(s) alors
est forcément dénombrable donc
est codénombrable.
Par suite, si dans une famille dénombrable d'éléments de :
- il n'y a que des éléments dénombrables alors la réunion de cette famille est encore dénombrable et est dans
- il existe au moins un codénombrable, la réunion de la famille devient codénombrable et donc cette réunion est encore dans
Comme tu as montré que était stable par complémentarité et que E, qui est bien entendu codénombrable, est dans , alors est une tribu.
Un jeu d'enfant.
Jepoti213 @ 21-10-2021 à 23:32
Et pour la dernière inclusion pour montrer que la tribu engendré par P est ?
Et pour la dernière inclusion pour montrer que la tribu engendré par P est
?Dàccord merci !!! et pour ça ??
Tu as commencé par dire quelque chose de très intéressant, c'est que donc . C'est très bien et il fallait commencer par ça.
Tu n'arrivais pas à le justifier : c'est simple : si une famille de parties F est incluse dans une autre F' alors (F)(F').
Mais ici, F' = qui est déjà une tribu. D'où l'inclusion.
Eh bien montre maintenant que dans tu trouves les parties dénombrables ou codénombrables.