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Niveau Licence Maths 1e ann
Tribus engendrées
Posté par yikine
Bonjour,
je ne comprends pas très bien ce qu'est la tribu engendrée par une partie A ! On a comme définition que si A 
P(E), E étant un ensemble non vide, alors il existe une plus petite tribu de E contenant A appelée tribu engendrée par A et notée 
(A).
Et pour appliquer ça à un exemple et bien j'ai beaucoup de mal, je ne comprends pas très bien la notion !
On a un ensemble 
={1,2,3,4,5} et on doit caractériser la tribu ({A,B,C}) où A={1,2}; B={2,3} et C=
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer sur cet exemple svp ?
Merci d'avance !
Bonsoir,
Une tribu sur un ensemble c'est un ensemble de partie qui contient l'ensemble vide, stable par passage au complémentaire et stable par inclusion.
Si l'on se fixe une partie A, il existe une infinité de tribu qui contiennent A, parmis celles-ci il y en a une plus petite au sens de l'inclusion, c'est la tribu engendrée et elle est vaut
Ca marche pareil lorsqu'on a plus une partie mais un ensemble de partie.
Pour : On sait déjà que la tribu contient le vide, l'espace entier, A, B et C.
Elle doit être stable par passage au complémentaire, donc elle contient les complémentaire de A, B et C. Elle doit être stable par union dénombrable. Les réunions des éléments de l'ensemble sont donc aussi dedans, et leur complémentaire aussi.
Ah oui d'accord tes explications sont nettements plus claires que celles du cours !!
Donc pour mon exemple du coup est-ce qu'on aura bien
({A,B,C})={,{1,2,3,4,5},{1,2},{2,3},{3,4,5},{1,4,5},{1,2,3},{4,5}} ?
Je pense qu'il en manque, il faut rajouter les unions dénombrables et/ou intersection dénombrable
+ vérifier que les complémentaires y sont
par exemple
doit etre dans la tribu mais du coup
{3} aussi
etc....
Ah mais pourquoi doit-on prendre aussi les intersections ?
Et là par exemple dans ce que j'avais trouvé il y avait {1,2} et {3,4} donc du coup on doit aussi faire {1,2} U {3,4} ? Enfin l'union de toutes les parties que je trouve est aussi dans ({A,B,C}) ?
En faite, tu dois avoir comme axiome d'une tribu T
ou
designe le complémentaire de A
mais
et comme et T stable par complementaire on a
or T stable par union dénombrable donc
et comme T est stable par complémentaire
donc T est stable par intersection dénombrable.
Notons que si un ensemble de partie d'un ensemble contient le vide, et stable par complémentaire et intersection dénombrable alors c'est un tribu.
L'axiome de l'union s'obtenant à l'aide de
En faite,
une tribu contient le vide, l'ensemble entier, est stable par complémentaire, union dénombrable , intersection dénombrable, différence, différence symétrique.