Niveau autre

trigo

Posté par
lucile619 17-10-08 à 22:31

Bonjour, comment montrer que si a,b et c sont 3 mesures des angles d'un triangle alors:
cos²(a)+cos²(b)+cos²(c)+2cos(a)cos(b)cos(c)=1
merci pour votre aide.

Posté par re : trigo 17-10-08 à 22:37

Bonsoir,

TU peux commencer par remplacer $c$ par $\pi-(a+b)$

Posté par re : trigo 17-10-08 à 22:44

ok, merci
cos²(a)+cos²(b)+cos²(-(a+b))+2cos(a)cos(b)cos(-(a+b))=1

or on c'est que cos(-(a+b)) = -cos(a+b)
mais là j'ai cos²

Posté par re : trigo 17-10-08 à 23:18

Il faut insister, développer...

$A=\cos^2a+\cos^2b+\cos^2(a+b)-2\,\cos\,a\,\cos\,b\,\cos(a+b)$

$A=\cos^2a+\cos^2b+\left[\cos\,a\,\cos\,b-\sin\,a\,\sin\,b\right]^2-2\cos^2a\,\cos^2b+2\,sin\,a\,\cos\,a\,\sin\,b\,\cos\,b$

$A=\cos^2a+\cos^2b+\cos^2a\,\cos^2b+\sin^2a\,\sin^2b-2\,sin\,a\,\cos\,a\,\sin\,b\,\cos\,b-2\cos^2a\,\cos^2b+2\,sin\,a\,\cos\,a\,\sin\,b\,\cos\,b$

$A=\cos^2a+\cos^2b-\cos^2a\,\cos^2b+(1-\cos^2a)(1-cos^2b)$

$A=1$

Posté par re : trigo 18-10-08 à 00:21

Merci, mais c'est assez dur,
comment vous passez de la 1ère à la 2ème ligne? (juste comment apparait +2sin a cos a sin b cos b)

Posté par re : trigo 18-10-08 à 09:48

Avec un signe -, il vient du double produit du carré dans le crochet.

Avec un signe +, il vient du développement de:

$-2\cos\,a\,\cos\,b\,\cos\,(a+b)=-2\cos\,a\,\cos\,b[\cos\,a\,\cos\,b-\sin\,a\,\sin\,b]=-2\cos^2a\,\cos^2b+2\,sin\,a\,\cos\,a\,\sin\,b\,\cos\,b$