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Bonjour,

ton énoncé te demande de chercher une loi ?

Si je comprends bien l'énoncé, on a un damier d'une seule ligne de n cases, on en prélève deux successivement et sans remise, et on cherche la probabilité de tomber sur des cases voisines. C'est ça ? Dans ce cas, il s'agit d'un calcul, pas d'une loi.

Je peux t'aider pour cette question, mais je pressens que l'exercice va demander de généraliser à n colonnes, p lignes, et q tirages, et là, je ne pourrai plus suivre  


Je pense qu'il y a une faute de frappe ici :

Merci !
oui exact une erreur de frappe :
On note P(n,p,q) la probalité de l'événement suivant : "les q cases choisies sont deux à deux voisines"

Comment savoir si on a besoin ou pas d'introduire une variable aléatoire ?

Pour cet exercice je pense avoir trouvé une piste mais je ne sais pas trop la justifier.

Je pense que P(n,1,2) = (n-1)/ (n!/(2!(n-2)!)
et P(3,2,2) = 3/15 +4/15 = 17/15
Le 3/15 correspond à la probabilité de choisir 2 case voisine sur les trois lignes et 4/15 sur les 2 colonnes.

Jusque là est-ce correct ?

Maintenant j'essaie d'établir que u(n,p+1)=u(n,p) + an ou an ne dépend que de n et u(n,p) est le nombre de choix de deux cases voisines sur le damier

En faisant un arbre, j'ai trouvé P(n,1,2) = 2/n * 1/(n-1) + ((n-2)/n * 2/(n-1) = (2 + 2n -4)/n(n-1) = 2n-2)/n(n-1) = 2(n-1)/n(n-1) = 2/n

Les deux membres correspondent aux deux types de cases, d'abord celles des extrémités, puis celles du milieu.

voilà

je trouve la même probabilité.
Par contre P(3,2,2)=7/15 >1 don possible...

P(n,p,q) = "il faut dénombrer les structures voisines" / tous les choix

Le problème de dénombrement est relativement compliqué, mais on doit pouvoir trouver une formule de récurrence...

Pour (n,1,q) c'est facile cependant :

Les ensembles voisins sont les intervalles . Il y en a n-q+1 et il y a tirages possibles de q éléments parmi n.

Pour les P(n,p,2) c'est facile aussi.

Notons c(n,p,q) le nombre d'ensembles voisins.

Les structures voisines sont des dominos horizontaux ou verticaux. On va supposer que n et p sont plus grand que 2 sinon on est ramené au cas précédent.

nombre de façon de mettre des dominos horizontaux :
(nb de lignes) * c(1,p,2) = n c(1,p,2)

nombre de façon de mettre des dominos verticaux :
  (nb de colonnes) * c(n,1,2) = p c(n,1,2)

Donc en tout c(n,p,2) = n c(1,p,2) + p c(n,1,2) = n c(p,1,2) + p c(n,1,2). Et avec le calcul :


Pour obtenir les probas on divise par

(j'espère qu'on retrouve vos résultats)

Pour P(n,p,3) il y a plus de structures

Les dominos verticaux et horizontaux
*   et   ***
*
*

Les quatre formes de L :
*   et    *     et   **   et  **
**         **          *       *

Heureusement le dénombrement pour les L est le même (comme pour les dominos auparavant il y a la symètrie n<-> p)

Après, c'est de plus en plus compliqué. Car de plus en plus de structures apparaissent...

Je ne comprendspas bien l'écriture de c(n,p,2)...
c(n,1,2), on le connait ? Il vaut 2 ?

c(n,p,2) = nombre de façon de prendre deux cases voisines dans un damier n*p

De la même façon : c(n,p,q) = nonmbre de façon de prendre q cases voisines dans un damier n*p

On a c(n,1,2) = n-1
(Les ensembles de deux cases voisines sont les )

C'es cette égalité que je ne comprends pas très bien... Pourquoi c(1,p,2) serait egal à c(p,1,2)?
c(n,p,2) = n c(1,p,2) + p c(n,1,2) = n c(p,1,2) + p c(n,1,2).

Il y a aussi c(n,2,q) qui doit être calculable en faisant intervenir des partitions de q... à méditer.