Niveau Maths sup

Turbo Pascal - Loi binomiale

Posté par
juliette93 23-12-12 à 11:44

Bonjour!
Je voudrais savoir comment simuler un programme pascal qui calcule P(X appartient à [A;B]), avec X qui suit une loi binomiale dt les paramètres sont donnés!
J'arrive à simuler un programme pascal qui me donne le nombre de succès, mais après je bloque...
Merci d'avance!

Posté par re : Turbo Pascal - Loi binomiale 23-12-12 à 20:54

Bonjour,

Une idée...

Soit n et p les paramètres de la loi.

CasFavorables = 0
Répète 1000 fois ce qui suit
[DEBUT]
Tire n fois au hasard un nombre réel dans [0;1].
Compte le nombre de fois où le nombre est <= à p. C'est le nombre de succès.
Si ce nombre est dans [A;B], incrémente casFavorables de 1
[FIN]
Puis divise casFavorables par 1000.
Tu obtiens une approximation de la probabilité souhaitée.

Nicolas

Posté par re : Turbo Pascal - Loi binomiale 23-12-12 à 21:59

Par exemple, prenons :
n = 400
p = 0,45
[A;B] = [180;200]

En utilisant la fonction LOI.BINOMIALE d'Excel, on trouve 0,47778841 comme approximation de la probabilité cherchée.

Posté par re : Turbo Pascal - Loi binomiale 23-12-12 à 22:00

Ci-dessous un programme possible sous Algobox.
Mais je me méfie de la fonction random() de ce logiciel.

Turbo Pascal - Loi binomiale

Posté par re : Turbo Pascal - Loi binomiale 23-12-12 à 22:04

Ci-dessous un programme possible sous Java.

Je l'ai essayé trois fois, et ai obtenu successivement :
0,49981
0,50026
0,49869

Turbo Pascal - Loi binomiale

Posté par re : Turbo Pascal - Loi binomiale 23-12-12 à 22:08

Correction d'un message ci-dessus :

En utilisant la fonction LOI.BINOMIALE d'Excel, on trouve 0,49949 comme approximation de la probabilité cherchée.

Posté par re : Turbo Pascal - Loi binomiale 23-12-12 à 22:08

Enfin, on peut vérifier l'approximation par une loi normale.

On sait que :
$\mathbb{P}\left(X\in[A;B]\right) \simeq \mathbb{P}\left(Y\in[A;B]\right)$
où $Y$ suit la loi normale d'espérance $np$ et de variance $npq$ ( $q=1-p$ ).

Si $Z$ suit une loi normale centrée réduite, on a donc :
$\mathbb{P}\left(X\in[A;B]\right) \simeq \mathbb{P}\left( \frac{A-np}{\sqrt{npq}} \le Z \le \frac{B-np}{\sqrt{npq}} \right)$

$\mathbb{P}\left(X\in[A;B]\right) \simeq \mathbb{P}\left(Z \le \frac{B-np}{\sqrt{npq}} \right) - \mathbb{P}\left( Z \le \frac{A-np}{\sqrt{npq}} \right)$

$\mathbb{P}\left(X\in[A;B]\right) \simeq \mathbb{P}\left(Z \le 2,0101 \right) - \mathbb{P}\left( Z \le 0 \right)$

En regardant dans les tables ou en utilisant la fonction LOI.NORMALE.STANDARD d'Excel, on trouve 0.4778 comme approximation de la probabilité cherchée.

Sauf erreur.

Nicolas