Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Master ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Master
Partager :

un exercice de proba qui commence bêtement..

Posté par
un_plus_un_ 30-10-08 à 23:07

Bonsoir,

On considère un espace probabilisé (\Omega=[0,1],B,P) où B tribu des boréliens sur [0,1] et où P est la mesure de Lebesgue sur [0,1].
Soit la suite (Xn) de var définies sur cet espace probabilisé par :

\forall n \geq 1, X_n=\sqrt{n}.1_{[0,\frac{1}{n^{\alpha}}]} où \alpha > 0

Quelle est la loi de probabilité de X_n?

On sait que   0 < \frac{1}{n^{\alpha}} \leq 1 donc X_n est une var à valeurs dans \{\sqrt{n}\} youpi!

Et donc on a : P[X_n = \sqrt{n}] = 1

Est-ce totalement bête ce que j'écris lol (c'est dur de se prendre le chou pour des trucs à priori si simples...)

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:10

Tout est correct ! (mais je ne pense pas que ce soit la question la plus intéressante de l'exercice)

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:10

Sauf que X_n = 0 est possible aussi... tout le monde dit des bêtises.

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:14

Non c'est clair lol !

2) calcul de l'espérance et la variance : E(X_n)= \sqrt{n}, Var(X_n) = n

3) Montrer que (Xn) converge en probabilité, et presque-surement

On utilisera l'archimédisme de R!

La cerise sur le gateau quoi :p

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:15

ah mince

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:23

Oui, en fait cet exercice démontre que la convergence en loi (ou en proba) n'implique pas la convergence L1 ni la convergence presque sure.

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:25

je ne vois pas pourquoi X_n peut être égal à 0, [0,\frac{1}{n^\alpha}] appartient à la tribu des boréliens de [0,1]

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:27

Le problème n'est pas là. On s'intéresse à l'événement :
\{\omega \in \Omega; X_n(\omega) = 0 \}
et je prétends que cet événement est loin d'être de probabilité nulle !

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:39

X_n(\omega)=0 ssi \omega \notin [0,\frac{1}{n^\alpha}]     mais \omega \in[0,1]

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:42

Nous sommes d'accord, ce que tu peux réecrire :
\{X_n = 0 \} = ]1/n^\alpha;1]

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 30-10-08 à 23:50

ah ben oui et ya lautre pour l'autre intervalle ok, et donc pour calculer les probas euh on peut pas..

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 07:38

Ben quand même !!!
C'est pas compliqué, tu devais être fatigué ;
\{X_n = 0 \} = ]1/n^\alpha]
et par définition de la mesure de Lebesgue :
\mathbb{P} (X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n^\alpha}

Pour l'autre pareil
\{X_n = \sqrt{n} \} = [0;1/n^\alpha]
donc
\mathbb{P}(X_n = \sqrt{n}) = \frac{1}{n^\alpha}

En plus, on est content la somme fait 1 : c'est une proba. Mais on le savait déjà...

Si tu ne peux pas faire ça de toi-même, replonge toi dans la définition d'une variable alétaoire et la définition de sa loi (la mesure image). Bon courage pour la suite de l'exercice.

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 12:05

excusez moi, c'est vrai que P est une mesure de Lebesgue... disons que j'ai beaucoup de mal avec la mesure, car ma licence je l'ai eu il y a 3 ans et ensuite je me suis consacré au CAPES où j'ai échoué 2 fois et cette année je me suis décidé de faire un M1 et de retenter le CAPES en candidat libre, donc les mesures c'est vrai que j'ai un peu oublié n'étant pas au programme du CAPES ^^

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 14:18

quoiqu'il en soit ensuite il est facile de montrer que Xn converge en probabilité vers 0 en utilisant la définition

Par contre, pour la convergence presque-sure il y a pas mal de propriétés pour aboutir mais je ne trouve pas laquelle il faut utiliser ici..la définition j'ai essayé mais ça ne peut pas aboutir et celui utilisant le critère de convergence d'une série tombe à l'eau également.. et comment utiliser ce fameux archimédisme là dedans?

Je sais que dire que R est archimédien signifie que pour tous réels positifs a et x, il existe un entier naturel n pour lequel  a est compris entre 0 et nx

Merci

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 14:29

ah peut être qu'une caractérisation de la convergence presque sure, celle qui permet de voir une équivalence entre la convergence presque sure et la convergence en probabilité. Merci Kolmogorov !

Xn converge presque surement vers X ssi la borne supérieure des |Xk|, k>n, converge en probabilité vers 0

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 14:32

mais à ce moment là je ne vois pas bien où peut intervenir l'archimédisme , on arriver à conclure sans!

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 14:49

Ma démonstration de la convergence en probabilité de(Xn) est la suivante:

Soit \epsilon > 0

* Si \epsilon \geq \sqrt{n}, alors : \forall n \in \math{N}*, P[|X_n-0|>\epsilon]=0

* Si 0 < \epsilon < \sqrt{n} , alors : \forall n \in \math{N}*, P[|X_n-0|>\epsilon]=P[X_n>\epsilon]=P[X_n=\sqrt{n}]= \frac{1}{n^\alpha} \longrightarrow 0 car \alpha > 0

D'où la convergence en probabilité de (Xn) vers 0

Posté par
un_plus_un_re : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 14:51

enfait l'archimédisme c'est tout bête on l'utilise sans le dire c'est ça?

Posté par
tringlaridore : un exercice de proba qui commence bêtement.. 31-10-08 à 17:45

"Archimédisme" je ne sais pas si ce mot existe... en tout cas je le trouve assez moche. R est archimédien signifie qu'un nombre non négatif plus petit que tout epsilon positif est forcément 0.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !