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Un peu de probabilités...
Posté par elotwist
Bonsoir !
J'ai une matrice M = ( a b )
(1-a 1-b)
avec 0<a<1 et 0<b<1
A = -M+(a-b)I et B =M-I
a- J'ai vérifier que AB=BA=0
b- On me demande d'en déduire que (a-b-1)*M^n=A+(a-b)^n * B.
Comment faire pour obtenir cela à partir de la première question.
2-La règle de conduite pour la consommation journalière de chocolat est lasuivante : Si le n ième jour il y a consommation de chocolat alors lalprobabilité d'en manger le (n+1)èmeest de 1/2 sinon cette probabilité est de 4/5.
Nous supposons que le premier jour il n'y a pas de consommation de chocolat.
Nous notons Cn l'événement "Manger du chocolat le nème jour" et nous posons Un=P(Cn)et Vn=P(complémentaire de Cn)
a- Exprimer Un+1 et Vn+1 en fonction de Un et Vn.
Est ce que je pars bien si je dis qu'il faut que je calcule P(X=n+1|X=0) où X est une variable de Bernouilliqui prend la valeur 1 si il y a consommation de chocolat et 0 sinon.
Bonsoir,
1)b) Soit utiliser le binôme de Newton pour les matrices, soit faire une récurrence.
2) P(X=n+1|X=0) = 0... ce ne doit pas être ce que tu voulais dire. (essaye de trouver un rapport avec la première question)
bonjour,
tu as vérifié que AB=BA=0 AB=0<=>-M²+(1+a-b)M-(a-b)I=0 soit M²=(1+a-b)M-(a-b)I
on vérifie facilement que (a-b-1)M=A+(a-b)B (0)
supposons qu'à un rang n (a-b-1)Mn=A+(a-b)nB (n)
tu en déduis (a-b+1)Mn+1=AM+(a-b)nBM (n+1)
or
AM=-M²+(a-b)M en remplaçant M² par son expression en fonction de M et I on obtient AM=(a-b)I-M=A
BM=M²-Mi=(a-b)M-(a-b)I==(a-b)(M-I)=(a-b)B
en reportant dans (n+1) (a-b+1)Mn+1=A+(a-b)n+1B la propriété est héréditaire
la seconde égalité n'est pas une conséquence de la première tu formes simplement A+(a-b)B=...
pour la partie proba
je reviendrai plus tard je suis absente toute la matinée
et tu passes aux probabilités
sauf erreur de calcul de ma part tu vas trouver
tu pourras remarquer si je note la matrice
on a la relation
où M est la matrice correspondant à (a=1/2b=4/5)