Bonsoir.
Un petit problème sur les espaces vectoriels de dimension finie me pose quelques problèmes.
Soit E un IK espace vectoriel de dimension finie n.
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E, il s'agit de montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel H tel que F+G = F H = G H si et seulement si dim(F) = dim(G).
Les questions sont :
1/ On suppose que F et G sont deux hyperplans de E distincts, montrer alors que la droite vectorielle H = est solution du problème .
J'ai traduit le fait qur si F et G sont deux hyperplans distinct de E, alors ils sont de dimensions n-1, mais après plus de pistes !
2/ En supposant que dim(F) = dim(G) , résoudre le problème si F = G.
Ici, je ne comprends pas bien comment on peux résoudre le problème si F = G ...
3/ Justifier l'existence de sous-espaces vectoriels F' et G' tels que et
On notera B = (f,...,fp) et C = (g1,...,gp) les bases respectives de F' et G'
Ici, pas de problème particuliers.
On considère alors
Montrer que la famille D = est libre.
Pas de problème non plus.
Soit H = , déterminer dim(H)
Je pense avoir bon, j'ai trouvé 2p
Montrer que et que
Dernière question qui doit permettre de conclure, mais je ne voit pas par où commencer .
Merci à tous pour les courageux qui auront lu jusque ici, je vous tien au courant ici, un peu d'aide serait la bienvenue :p.
Si oui, il suffit pour la question 1 d'utiliser 3 fois de suite le fait que la somme d'un hyperplan et de la droite vectorielle engendrée par un vecteur n'appartenant pas à cet hyperplan est égale à E.
Bonjour et désolé de ma réponse tardive.
A priori, f et g sont bien des vecteurs non nuls de F et G (rien n'est précisé dans l'énoncé).
Merci de votre réponse, je vais voir cela tout de suite !
Bonsoir.
J'ai réussi à montrer la somme directe entre F et H et entre G et H, mais pour montrer que ces 2 sommes directes sont égales à F + G , je coince, pouriez vous m'aider s'il vous plaît ?
En fait, F + G c'est tout l'espace.
Pour t'en convaincre, il suffit de choisir un vecteur g de G qui n'est pas dans F (ce qui est possible puisque par hypothèse, F et G sont non confondus).
Comme F est un hyperplan, l'espace vectoriel engendré par F et g est l'espace en entier.
A fortiori, l'espace F + G, encore plus gros a priori, est lui aussi l'espace E en entier.
Tout comme F + H et G + H. Ces trois sommes coïncident donc.
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