Salut,

Moi non plus, je ne trouve pas ça très clair !

Si tu supposes que la somme est directe, . Je ne vois pas ce que vient faire une décomposition du vecteur nul...

Quelle est ta définition de somme directe ?

salut

justement une définition ne se démontre pas elle s'utilise, non?

Ca dépend. Si sa définition est :
Tout vecteur se décompose de manière unique en

où et . Alors, la proposition que tu présentes nécessite une démonstration.

salut (grand maître) Tringlarido

tout à fait d'accord:il faut montrer l'équivalence des 2 propriétés

Ce qui est fait dans cette démonstration est la chose suivante.

Prenons pour x le vecteur nul. Il se décompose en

avec et . Mais pour ce vecteur nul, nous connaissons déjà une décomposition :


Par définition de la somme directe, la décomposition est unique et on a .

Merci, c'est plus clair, et c'est seulement parce que la somme est directe qu'elle n'admet qu'une unique décomposition... Ca n'aurait pas pu être 0= 2 + (-2)

x F₁ F₂

Donc x F₁ et x F₂ -x F₂

Attention, dans un espace vectoriel c'est mal vu d'utiliser la notation 2 pour un vecteur ! (sauf si E est bien entendu)

Oui, si x est dans l'intersection. C'est de cette manière là qu'on montre qu'on a une décomposition du vecteur nul. Je ne l'avais pas précisé dans mon message.

Merci mais 0 aussi alors ?

Merci Tringlarido, mais si on ne peut pas écrire 2, pourquoi le peut-on avec 0 ?

Oui ! On écriera plutôt mais on fait beaucoup d'exception à cette règle... Les lois sont laxistes pour les zéros.

D'accord, merci de m'avoir expliqué Tringlarido, j'ai compris maintenant !

David