Bonjour, j'ai un point d'une démonstration que je n'arrive pas à comprendre...
Si F1 et F2 sont deux sous-espaces vectoriels de m , ssi
Si on suppose que la somme est directe,
x F1F2
0 = x +(-x)
Et là, l'unicité de décomposition du vecteur nul nous permet de dire 0 = 0 + 0
x = -x = 0
F1F2 = {0}
Mais je ne trouve pas cela très clair...
Pourriez-vous me l'expliquer ? Merci
David
Si tu supposes que la somme est directe, . Je ne vois pas ce que vient faire une décomposition du vecteur nul...
Ca dépend. Si sa définition est :
Tout vecteur se décompose de manière unique en
où et . Alors, la proposition que tu présentes nécessite une démonstration.
salut (grand maître) Tringlarido
tout à fait d'accord:il faut montrer l'équivalence des 2 propriétés
Ce qui est fait dans cette démonstration est la chose suivante.
Prenons pour x le vecteur nul. Il se décompose en
avec et . Mais pour ce vecteur nul, nous connaissons déjà une décomposition :
Par définition de la somme directe, la décomposition est unique et on a .
Merci, c'est plus clair, et c'est seulement parce que la somme est directe qu'elle n'admet qu'une unique décomposition... Ca n'aurait pas pu être 0= 2 + (-2)
Attention, dans un espace vectoriel c'est mal vu d'utiliser la notation 2 pour un vecteur ! (sauf si E est bien entendu)
Oui, si x est dans l'intersection. C'est de cette manière là qu'on montre qu'on a une décomposition du vecteur nul. Je ne l'avais pas précisé dans mon message.
Oui ! On écriera plutôt mais on fait beaucoup d'exception à cette règle... Les lois sont laxistes pour les zéros.
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