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Urne et parties

Posté par
poissonium 22-03-09 à 12:15

Bonjour ! J'ai un exercice de proba que j'ai (je pense) bien amorcé mais que je n'arrive pas à terminer. Le voici :

Une urne contient n boules (n > 1) numérotées de 1 à n.

On tire au hasard une partie de ces boules (chaque partie de E a la même probabilité d'être tirée).

A- On effectue un tirage :

1- Pour tout entier i compris entre 1 et n, B_i est l'événement "la boule portant le numéro i appartient à l'ensemble des boules tirées". Calculer P(B_i).

J'ai pensé que Card(B_i) = Card(P(E)) - Card(C_i) avec C_i pour événement contraire de B_i.
Donc Card(B_i) = 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1).
D'où P(B_i) = Card(B_i)/Card() = 2^(n-1)/2^n = 1/2 car Card() = Card(P(E)).
Est-ce correct ?

2- Les événements de la famille des B_i (i compris entre 1 et n) sont ils deux à deux indépendants ?

Pour tout (i,j) [|1 ; n|]², i j, P(B_i B_j) = 2^(n-2)/2^n = 1/4 (même raisonnement) et P(B_i) P(B_j) = 1/2 1/2 = 1/4.
Donc les événements sont deux à deux indépendants.
( là je suis pas certain... )

3- Sont-ils mutuellement indépendants ?

( j'ai comme au-dessus... )
Pour tout (i1, i2, ..., ik) [|1 ; n|]^k, P(B_i1 B_i2 ... B_ik) = 2^(n-k)/2^n = 1/(2^k) (même raisonnement) et P(B_i1) P(B_i2) ... P(B_ik) = (1/2^k) = 1/2^k.
Donc les événements sont mutuellement indépendants.

4- Pour tout p compris entre 0 et n, on note N_p l'événement : "le nombre de boules tirées est k". Déterminer N_p.

Et là, je vois pas...

Merci de votre aide !

Posté par
pythamedere : Urne et parties 22-03-09 à 12:46

Citation :
J'ai pensé que Card(B_i) = Card(P(E)) - Card(C_i) avec C_i pour événement contraire de B_i.
...
Est-ce correct ?


Je ne crois pas !

P(E) est un ensemble ; Card(P(E)) est le nombre d'éléments de cet ensemble.

B_i est un événement, ce n'est pas un ensemble !

Donc l'écriture "Card(B_i)" n'a pas de sens !

Tu peux penser que je pinaille, mais en math'sup, on apprend à pinailler !

Cela dit, il me semble que le résultat est cependant correct ! En effet, si l'on répartit les boules en deux sous-ensembles, la boule i appartient à l'une des parties, et pas à l'autre. Comme chacune de ces deux parties a la même probabilité d'être tirée, il est clair que P(B_i)=1/2 !

Posté par
poissoniumre : Urne et parties 22-03-09 à 13:13

Ah, je ne savais pas... En fait je suis en prépa HEC, mais merci pour l'info en tout cas.

Que penses-tu de la suite ?

Posté par
pythamedere : Urne et parties 23-03-09 à 09:29

Citation :
J'ai pensé que Card(B_i) = Card(P(E)) - Card(C_i) avec C_i pour événement contraire de B_i.
Donc Card(B_i) = 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1).


Pour calculer le nombre de cas favorables [que tu appelles à tort Card(B_i)], tu fais référence au nombre de cas défavorables, comme si tu connaissais ce dernier alors que tu ignorais le premier ! Il me semble qu'il serait équivalent de dire directement que le nombre de cas favorables est 2^{n-1}. Le nombre de cas favorables est exactement aussi inconnu que le nombre de cas défavorables, alors, soit tu admets que le nombre de cas défavorables est évidemment égal à 2^{n-1} mais dans ce cas tu dois dans le même temps admettre que le nombre de cas favorables est lui aussi évidemment égal à 2^{n-1} et cela ne sert à rien de le calculer comme 2^n-2^{n-1}, soit au contraire, tu considères qu'il te faut calculer le nombre de cas favorables et alors il n'est pas légitime de s'appuyer sur le nombre de cas défavorables que tu ignores tout autant que le nombre de cas favorables ! Tu saisis ?

En d'autres termes, soit ta démonstration est inutile (parce que c'est trop évident), soit elle est insuffisante ! Moi, je calculerais directement le nombre de cas favorables en démontrant qu'il y en a 2^{n-1} !

La remarque est valable pour les questions 2 et 3. Il me semble que tu ne démontres rien du tout ! (j'admets que c'est quasi évident, mais, quand même...)

Citation :
4- Pour tout p compris entre 0 et n, on note N_p l'événement : "le nombre de boules tirées est k". Déterminer N_p.

Et là, je vois pas...


Je pense que l'on te demande de déterminer P(N_p), N_p étant l'événement "le nombre de boules tirées est p" (et non k!) ; on ne te demande pas de déterminer N_p (qui est parfaitement déterminé par l'énoncé), on te demande de déterminer P(N_p) ! (Enfin, je crois...)

Là aussi, il faut compter : à combien de cas favorables correspond l'événement "le nombre de boules tirées est p" ? Ou, combien de parties de E (que tu as oublié de définir ! Si tu parles de E, dis d'abord ce que c'est ! J'avais deviné remarque...mais ton professeur ne te ratera pas !) contiennent p éléments ? La réponse est facile, c'est du cours. Combien de sous-ensembles distincts de p éléments peut-on avoir en choisissant p éléments parmi n ? C_n^p ou \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}, non ?

Donc P(N_p)=\frac{n!}{p!(n-p)!2^n}

Posté par
poissoniumre : Urne et parties 23-03-09 à 18:50

D'accord.

Comment faire pour définir E ? L'énoncé dit que c'est l'ensemble des boules de l'urne.

Merci pour la question 4 et le reste.

Une dernière question :

On effectue une suite de tirages sans remettre dans l'urne les boules tirées. Chaque tirage consiste à prendre une partie des boules qui restent dans l'urne (au hasard), chacune des parties ayant la même probabilité d'être tirée.

3/ Calculer la probabilité pour que les p boules soient tirées en au plus deux tirages.

J'ai pensé à la somme des (i parmi n) fois les (p - i parmi n - i) pour i variant de 0 à p. C'est cela ?

Posté par
pythamedere : Urne et parties 23-03-09 à 22:28

Citation :
Comment faire pour définir E ? L'énoncé dit que c'est l'ensemble des boules de l'urne.


Si E est défini dans l'énoncé, pas la peine que tu le définisses ! Je t'ai demandé de le définir parce que TOI tu ne l'as pas défini dans l'énoncé apparaissant ici !

Citation :
J'ai pensé à la somme des (i parmi n) fois les (p - i parmi n - i) pour i variant de 0 à p. C'est cela ?


D'abord, ce n'est pas clair : met une formule !

Deuxièmement, il ne suffit pas de balancer une formule ; il faut la justifier !

Troisièmement, je pense que ce n'est pas cela, mais je n'en suis pas certain parce que ta formule n'est pas claire !

Posté par
poissoniumre : Urne et parties 23-03-09 à 22:57

Bonsoir pythamede.

En gros je me suis dit qu'il fallait d'abord prend i boules parmi n lors du premier tirage, puis p-1 parmi les n-i qu'il reste, avec i pouvant varier de 0 à p...

Posté par
pythamedere : Urne et parties 24-03-09 à 08:32

Citation :
3/ Calculer la probabilité pour que les p boules soient tirées en au plus deux tirages.


Attends ! Ce n'est pas clair !

Si tu avais dit "3/ Pour p entre 0 et n, calculer la probabilité pour que p boules soient tirées en au plus deux tirages.", j'aurais dit que c'était clair !

Si tu avais dit "3/ Calculer la probabilité pour que les n boules soient tirées en au plus deux tirages.", j'aurais dit que c'était clair !

Mais là, je ne comprends pas ce qu'est "les p" !

Précise un peu l'énoncé exact ! Merci !

Posté par
poissoniumre : Urne et parties 24-03-09 à 13:08

Pardon, ce sont les n boules (toutes...)...

Posté par
pythamedere : Urne et parties 25-03-09 à 14:48

Si \displaystyle \bigcup_{i=1}^n A_i = E et si \displaystyle i \neq j \Rightarrow A_i\bigcap A_j\,=\,\empty alors :

\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n\,\, P(B \bigcap A_i)=\sum_{i=1}^n\,\, P(A_i)\times P_{A_i}(B)

Pose alors B = "les p boules sont tirées en au plus deux tirages" et A_i = "On tire i boules au premier tirage", et vas-y !


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