j'ai compris enfait autant pour moi

par contre j'ai une autre question

On a donc Sp(A)=(1,2,3)

On calcul le sous espace vectoriel de R^3 appelé sous espace propre associé a 1,2,3
E1= Ker(A-I)

On résoud alors le systeme obtenu et on obtient

x+3y+4z=0
0x+2y+0z=0
0x+y+0z=0

Le prof trouve E1=Vect{(-4,0,1)}

j'ai juste compris pour le y puisque l(on trouve y=0

pour x on a x=-4z

mais pour z ? que conclure ?

moi j'ai fais:

x+3y+4z=0
2y=0
y=0

donc y=0 x=-4z

on a donc (-4z,y,z)

soit z(-4,0,1) + y(0,1,0)

donc je trouve

E1=vect{(-4,0;1);(0,1,0)}

or je ne comprends pas car mon prof a seulement trouvé (-4,0,1)

ou est mon erreur ? de plus comment savoir si ce sous espace vectoriel est engendré par un ou deux vecteurs (afin de ne pas faire d'erreur ) MERCI

Bonjour,
Le spectre de A est l'ensemble de ses valeurs propres.
Les valeurs propres X sont solutions de l'éq
det(A-XI)=0
On trouve det(A-XI)=(1-X)(2-X)(3-X) et sp A= {1,2,3}

Ici, à chaque valeur propre est associé un vecteur propre(non nul). Un vecteur propre Y associé à la valeur propre est défini par (A-I)Y=O (O matrice nulle)autrement dit Y peut être considéré comme un vecteur de base de Ker(A-I)=

Pour =1 Y=(x,y,z)

x+3y+4z=0
2y=0
y=0

en remplacant la valeur de y dans la 1ère éq on trouve : x+4z=0. Une solution évidente est x=z=0 (que l'on doit écarter puisqu'un vecteur propre est non nul) L'éq x+4z=0 est satisfaite en prenant par ex x=-4 et z=1 ou bien x=2 et y=-1/2 ou bien ....(on remarquera que tous les vecteurs propres associés à la valeur propre 1 sont colinaires.)

OK mais je ne vois pas pourquoi mon raisonnement est faux, ou est mon erreur afin que je sache ?

et comment savoir si ce sous espace vectoriel est engendré par un ou deux vecteurs (afin de ne pas faire d'erreur )?

peut etre que si on avait eu une valeur propre double tel que alors là il aurait fallu trouver 2 vecteurs ? je ne sais pas ..

pouvez vous m'éclaircir?

Ok merci

Et si on avait eu 2 valeurs propres sur une dimension 3 ? ça aurait tjrs été une droite vectorielle?


et Si on avait eu 4 valeurs propres , là on aurait eu besoin de plusieurs vecteurs?

Bonjour

Regarde ici: Réduction des endomorphismes linéaires