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Vérification des résultats et extension (matrice)
Bonsoir, j'ai un exercice sur une matrice :
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Soit la matrice
1. Montrer que A est une matrice orthogonale.
2. Calculer les éléments propres de A.
En déduire la nature de la transformation associée à la matrice dans la base canonique de IR3.
3. Quelles sont les matrices qui commutent avec A ?
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Réponses :
1. Soit f l'endomorphisme associé à A dans la base (i,j,k).
* On vérifie que f transforme la base orthogonale (i,j,k) en une base orthogonale (j,k,i)
(qui est constituée de vecteurs unitaires et orthogonaux 2 à 2) ou on vérifie que tA = A.
Soient c1, c2 et c3 les vecteurs colonne de la matrice A.
* On a ||c1|| = ||c2|| = ||c3|| = 1 et
De plus, c1
c2 = c3 donc la base est orthonormée directe.
Ainsi A
2. * On calcule det(A) = 1, comme A
I3 f est une .
* On cherche l'ensemble des vecteurs invariants en cherchant
Soit AX = X <=> MX - 7X = 0 en posant X = (x,y,z).
Je trouve z = -1/5 x et y=-11/5 x.
Donc f est une rotation d'axe D dirigé par u = (1, -11/5, -1/5).
* On calcule Tr(A) = 1/7( -5 + 6) = 1/7 = 1+2cos
donc cos = -3/7.
Cette valeur me semble bizarre...
3. Je ne vois pas trop comment faire. Je n'ai jamais été confronté à ce type de question...
Merci à ceux et celles qui pourront m'aider 
Salut gbm !
1)
ou on vérifie que tA = A.
Ah bon ?
Tu as dû oublier un indice : tA = A-1
2) Non c'est bon, c'est rare que les valeurs des angles de rotation tombent "juste" !
3) La méthode barbare consiste à poser
Une méthode plus agréable consiste à diagonaliser ta matrice, la relation se simplifie un peu (enfin ça fait moins de calculs).
Mais A est orthogonale, il doit y avoir une méthode plus élégante, je cherche !
Encore une fois gui_tou tu vas me rendre service 
.
1.
Ah bon ? Tu as dû oublier un indice
En effet, petit oubli de ma part.
2.
Non c'est bon, c'est rare que les valeurs des angles de rotation tombent "juste" !
Ce qui est étonnant c'est que d'habitude on peut déterminer la valeur exacte de l'angle...
3. C'est ce que je voulais faire au début mais c'est une horreur !
Si tu ne sais pas comment ça ne fait rien. Au moins, j'ai fais les 2 premières questions justes .
Sinon, est-ce que je peux t'embêter 10 min pour regarder une correction sur un autre topic ?
Verdurin a regardé cela vite fait et semble être parti...
Développement en série entière (vérification)
Bonjour
Pour la dernière question. Si j'ai bien compris, A est une rotation dont tu connais l'axe et tu as une base orthogonale sur la quelle A est "agréable". Si une application linéaire commute avec A, elle doit déjà laisser l'axe globalement fixe et le plan orthogonal aussi. par ailleurs, dans le plan où se passe la rotation, il n'y a plus que 4 équations à la place de 9! En fait, on voit que si l'angle n'est ni 0 ni , une matrice qui commute avec une matrice de rotation est de la forme
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