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Niveau Master
vitesse de convergence (en loi)
Posté par infernal
Bonjour,
j'ai un problème en probas à résoudre:
Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l'intervalle [0;b]. On suppose que X1,...,Xn sont n variables aléatoires indépendantes de même loi que X. On pose: bn=max{X1,...,Xn}
On s'interesse à la vitesse de convergence de bn vers b. Trouver une suite an telle que an(b-bn) converge en loi vers une variable Z de loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
J'ai déja calculé auparavant la densité de bn: f(t)=n*t^(n-1)/b^n
son espérance E(bn)=n*b/(n+1), sa variance Var(bn)=n*b²/((n+2)*(n+1)²)
et j'ai montré que bn converge en probabilité vers b. Mais je n'arrive à trouver la suite an!
Bonsoir,
En calculant la limite de E(an(b-bn)) lorsque n
tu dois trouver le paramètre de Z ...
Tu as vu que la fonction de répartition de bn est Fn(x) = (x/b)n. Calcule la fonction de répartition Gn de la va an(b-bn) :
...
Bonsoir,
Je propose la démarche suivante :
Réflexions 1)
Xi de loi uniforme sur [0, b], donc P(Xi <= x) = x/b
P(bn <= x ) = P(max[X1…Xn] <= x) = PRODUIT P(Xi <= x) car Xi i.i.d = (x/b)^n
- densité obtenue en dérivant : f(x) = n.x^n-1 / bn
- espérance obtenue en intégrant : E(bn) = n.b / (n+1)
- variance obtenue en intégrant : Var(bn) = n.b^2 / [ (n+2).(n+1)^2 ]
Ceci correspond bien à tes résultats.
Réflexions 2)
On note que :
- (b-bn) a pour espérance : E[b-bn] = b - E(bn) = b/n+1
- donc an.(b-bn) a pour espérance [1] : E[an.(b-bn)] = an.b/n+1
- b-bn a pour variance obtenue en intégrant : Var[b-bn] = n.b^2/(n+1)^2.(n+2)
- donc an.(b-bn) a pour variance [2] : Var[an.(b-bn)] = an^2.n.b^2/(n+1)^2.(n+2)
Réflexions 3)
Par ailleurs, une loi exponentielle a pour caractéristiques :
- répartition : F(t) = 1 - e(-Lt)
- densité : f(t) = L.e(-Lt)
- espérance : E = 1/L
- variance : Var = 1/L2
On peut comparer ces expression à celles de [Réflexions 2]
Solution)
Soit yn = an.(b-bn), et y=an.(b-x) càd x = b - y/an
Alors : bn <=x <=> yn >= an.(b-x)
On obtient F(y) = P(yn <= y) = 1 - P(yn >= y) = 1 - P(bn <= b - y/an) = 1 - [1 - y/b.an]^n
L'idée est de transformer l'expression qui précède au moyen d'une approximation.
Pour faire tendre y/b.an vers 0, on peut prendre an = n.
Les expressions de l'espérance [1] et de la variance [2] y font penser, afin de tendre respectivement vers 1/L et 1/L^2 (ce qui donne L=1/b).
Alors : [1 - y/b.n]^n -> 1- n.y/b.n = 1 - y/b
de même, e(-L.y) -> 1 - L.y
ainsi, on peut considérer que : F[an.(b-bn)] -> 1 - e(-y/b)
Voilà. Il est possible de rédiger une réponse plus concise si nécessaire (mais j'avais envie de creuser la question davantage).
Philippe.