Salut,

f(x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2

Si quelqu'un peut m'aider à faire cet exo, je lui en serait très reconnaissante.

Enoncé :

Soit E = F(R,R). On donne 2 sous espaces vectoriels E1 et E2 de E. Dans chacun des cas, montrer que
E = E1 (rond avec une croix  dedans) E2.

         1) E1 = (f appartient à E / f est paire) et
E2 = (f appartient à E / f est impaire).

         2) E1 = (f appartient à E / f(5) = 0) et
E2 = (f appartient à E / f est constante).

Voilà , merci d'avance
A+
         Aurélie


*** message déplacé ***

salut
pour chaque question il faut montrer que :
a) E=E1 + E2 ET E1 inter E2 = {0E}
ou 0E est l'element neutre de E.

je fais le 1)
montrons que E1 + E2 = E
on a par definition de E1 et E2 : E1 + E2 inclus dans E.
on regarde l'inclusion inverse.
soit f dans E.
on definie f1 et f2 dans E tel que pour tout x dans R :
f1(x)=[f(x)+f(-x)]/2
f2(x)=[f(x)-f(-x)]/2

f1(-x)=f1(x) => f1 paire donc f1 dans E1.
f2(-x)=-f2(x) => f2 impaire donc f2 dans E2.

et pour tout x dans R f1(x)+f2(x)=f(x).
donc f=f1+f2 avec f1 dans E1 et f2 dans E2.

donc E est inclus dans E1+E2.
donc E=E1+E2.

reste E1 inter E2 = {0E}.
ou 0E est la fonction nulle sur R.

0E est paire donc 0E est dans E1
0E impaire donc 0E est dans E2
donc {0E} inclus dans E1 inter E2.

autre inclusion soit g dans E1 inter E2.
g dans E1 donc g paire donc g(x)=g(-x)
g dans E2 donc g impaire donc -g(x)=g(-x)
donc pour tout x dans R  donc g(x)=-g(x) donc 2*g(x)=0
ce qui fait g(x)=0
donc g=0E

donc E1 inter E2 = {0E}

on a E1 inter E2 ={0E}
et E1 + E2 = E
donc E est la somme directe de E1 et E2.
on dit que E1 et E2 sont supplementaires dans E.


*** message déplacé ***

tout reside dans le fait d'exprimer un element de E en fonction de E1 et E2.

pour la 2. pour montrer que E est inclus dans E1 + E2.

soit f dans E.
soit g dans E tel que pour tout x dans R g(x)=f(x)-f(5)
donc g est dans E1.
soit h tel que pour tout x dans R h(x)=f(5).
donc h est constante donc h est dans E2.
et f= g + h.
donc E inclus dans E1 + E2.
l'autre inclusion se fait tout seul.

pour montrer que E1 inter E2 = {0E}
soit f dans E1 inter E2.
f est dans E2 donc f est constante.
f est dans E1 donc f(5)=0.
pour tout x dans R on a f(x)=f(5) car f constante.
or f(5)=0 donc pour tout x dans R f(x)=0.
donc f=0E.

l'autre inclusion est evidente.

voila. a+.

*** message déplacé ***

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Merci

merci beaucoup
A+  Aurélie