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Posté par
carpediem
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:50

Ulmiere @ 15-10-2021 à 20:40


Non, l'anneau des matrices n'est pas intègre et tu ne peux pas "simplifier par B" des deux côtés. Pour pouvoir le faire, il faut d'abord montrer que B est inversible.
on tombe bien là dans le travers de l'EN ...

je n'ai jamais simplifié... j'ai toujours multiplier par l'inverse (... quand il existait bien sûr)

Posté par
carpediem
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:51

PS : sans aucun reproche à ton égard Ulmiere bien sûr ... mais à l'EN !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:53

Il y avait des guillemets

Posté par
carpediem
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:57

oui j'ai vu ... d'où mon PS !!

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 21:00

Merci, Sylvieg pour ta réponse. Je crois voir ma confusion ( enfin j'espère).

@ Ulmiere, c'est quoi l'EN?

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 21:15

Sylvieg @ 15-10-2021 à 20:46

Citation :
(BA)B=IB  donc I=BA
Dans un anneau non intègre

De plus, il a été clairement mis en évidence qu'on ne pouvait pas espérer aboutir en se contentant d'utiliser les propriétés d'un anneau.
Voir l'exemple de GBZM à 14h22.
Oui et non. Ma preuve montre qu'avec des propriétés de groupe affaiblie, on peut quand même aboutir.

Ce qu'essaye de faire phyelec78 revient à faire tout ce qui a été fait dans l'exo que j'ai cité, mais avec des matrices au lieu d'éléments d'un ("presque") groupe quelconque.

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 22:00

@Foxdevil,

Sylvieg et Ulmiere ont raison ce que je fais est faux, si AB=AC rien ne prouve que B=C  sans plus d'information. Cet aspect  des matrices est fascinant. Je l'oubli trop souvent.

Cordialement

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 22:27

Cette simplification à proprement parler est fausse oui; mais l'idée d'arranger pour se retrouver avec BA à partir de AB ne l'est pas elle. Et c'est la preuve dont je parle...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 16-10-21 à 08:51

Bonjour,
@Foxdevil,
Je ne suis pas d'accord avec

Citation :
On se place dans la structure suivante: les matrices ayant un inverse à droite. Dessus, la multiplication est associative et admet un neutre à droite.
Donc c'est un groupe,

On pourrait donc utiliser ce corrigé pour l'ensemble G des matrices ayant un inverse à droite.
Voici ce que donne le début :
Soit A dans G d'inverse à droite A'.
On va prouver que A' est aussi inverse à gauche pour A.
A'A est un élément de G.
Cette dernière ligne n'est pas démontrée dans ce contexte :
Pourquoi A' serait-il dans G ?
Dans les données de l'exercice, il est sous entendu que l'inverse à droite est dans G.
Pas avec nos matrices.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 16-10-21 à 09:32

Au fait : EN = Éducation Nationale.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 16-10-21 à 09:41

La faille que j'ai signalée ce matin avait déjà été repérée hier par Ulmiere et GBZM :

Citation :
Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
Citation :
Un truc qui a un inverse à droite a-t-il nécessairement un inverse à droite qui a un inverse à droite ?

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 16-10-21 à 11:56

Sylvieg @ 16-10-2021 à 09:41

La faille que j'ai signalée ce matin avait déjà été repérée hier par Ulmiere et GBZM
Oui j'avais bien noté. En fait, je pensais que la manipulation de l'exercice s'appliquait. Mais effectivement, l'inversibilité à droite de A'A n'est pas prouvée. Et même équivaut à l'inversibilité à droite de A'.
Il faudrait donc trouver un autre moyen de prouver que A' est inversible à droite, sans passer par celle de A'A. Ou prouver celle de A'A, sans celle de A'...

Oui ça coince

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 16-10-21 à 16:14

Pour essayer de conclure :
Soit E l'espace vectoriel des suites réelles, L(E) l'ensemble des endomorphismes de E.
Muni des opérations classiques + et o, L(E) a une structure d'anneau.
L'élément neutre pour o est\; IdE .
Dans cet anneau, on peut avoir \; fog = IdE \; et \; gof IdE \; (voir l'exemple de GBZM le 15 à 14h22).
Une démonstration qui n'utilise pas autre chose que la structure d'anneau ne peut donc aboutir.

La démonstration de perroquet du 15 à 16h10 utilise la dimension finie de l'espace vectoriel des matrices.

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