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Non, l'anneau des matrices n'est pas intègre et tu ne peux pas "simplifier par B" des deux côtés. Pour pouvoir le faire, il faut d'abord montrer que B est inversible.
je n'ai jamais simplifié... j'ai toujours multiplier par l'inverse (... quand il existait bien sûr)
Merci, Sylvieg pour ta réponse. Je crois voir ma confusion ( enfin j'espère).
@ Ulmiere, c'est quoi l'EN?
(BA)B=IB donc I=BA
De plus, il a été clairement mis en évidence qu'on ne pouvait pas espérer aboutir en se contentant d'utiliser les propriétés d'un anneau.
Voir l'exemple de GBZM à 14h22.
Ce qu'essaye de faire phyelec78 revient à faire tout ce qui a été fait dans l'exo que j'ai cité, mais avec des matrices au lieu d'éléments d'un ("presque") groupe quelconque.
@Foxdevil,
Sylvieg et Ulmiere ont raison ce que je fais est faux, si AB=AC rien ne prouve que B=C sans plus d'information. Cet aspect des matrices est fascinant. Je l'oubli trop souvent.
Cordialement
Cette simplification à proprement parler est fausse oui; mais l'idée d'arranger pour se retrouver avec BA à partir de AB ne l'est pas elle. Et c'est la preuve dont je parle...
Bonjour,
@Foxdevil,
Je ne suis pas d'accord avec
On se place dans la structure suivante: les matrices ayant un inverse à droite. Dessus, la multiplication est associative et admet un neutre à droite.
Donc c'est un groupe,
On pourrait donc utiliser ce corrigé pour l'ensemble G des matrices ayant un inverse à droite.
Voici ce que donne le début :
Soit A dans G d'inverse à droite A'.
On va prouver que A' est aussi inverse à gauche pour A.
A'A est un élément de G.
Cette dernière ligne n'est pas démontrée dans ce contexte :
Pourquoi A' serait-il dans G ?
Dans les données de l'exercice, il est sous entendu que l'inverse à droite est dans G.
Pas avec nos matrices.
La faille que j'ai signalée ce matin avait déjà été repérée hier par Ulmiere et GBZM :
Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
Un truc qui a un inverse à droite a-t-il nécessairement un inverse à droite qui a un inverse à droite ?
La faille que j'ai signalée ce matin avait déjà été repérée hier par Ulmiere et GBZM
Il faudrait donc trouver un autre moyen de prouver que A' est inversible à droite, sans passer par celle de A'A. Ou prouver celle de A'A, sans celle de A'...
Oui ça coince
Pour essayer de conclure :
Soit E l'espace vectoriel des suites réelles, L(E) l'ensemble des endomorphismes de E.
Muni des opérations classiques + et o, L(E) a une structure d'anneau.
L'élément neutre pour o est IdE .
Dans cet anneau, on peut avoir fog = IdE
et
gof
IdE (voir l'exemple de GBZM le 15 à 14h22).
Une démonstration qui n'utilise pas autre chose que la structure d'anneau ne peut donc aboutir.
La démonstration de perroquet du 15 à 16h10 utilise la dimension finie de l'espace vectoriel des matrices.
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