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Niveau maths spé
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AB = In ==> BA = In

Posté par
Yosh2
13-10-21 à 20:48

Bonjour
Connaissez vous une preuve du résultat du titre ne faisant intervenir que le produit matriciel ( pas de passages par les endo, ou le determinant) , a priori elle serait présente dans le livre jardin d'eiden , mais je ne le possède pas .
merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 21:48

Bonsoir,
Peux-tu préciser le contexte de ta question ?
A et B sont des matrices carrées de dimension n ?
IN désigne la matrice identité ?

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:07

Bonjour,

j'ai compris A et B sont 2 matrices carrées de dimension n et In est la matrice identité de dimension n et vous avez  AB=In
si A est inversible A.A-1=A-1.A=I et  A-1=B car AB=In donc A-1 A=BA=In

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:13

Bonsoir,

Mais la question est : pourquoi A est elle inversible si on sait seulement que AB=I_n ?

Posté par
bernardo314
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:36

Bonsoir,

AB =  I   entraîne  B(x) = 0 implique  x  =0, donc  le rang des lignes de  B est  n  non ?

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:41

Citation :
ne faisant intervenir que le produit matriciel ( pas de passages par les endo, ou le determinant)

Posté par
bernardo314
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:44

ben c'est un produit matriciel de  B  par la colonne  x ....

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:49

Et "donc le rang des lignes" est aussi un produit matriciel ?

Posté par
bernardo314
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:50

non mais ni déterminant , ni endomorphisme, c'est juste systèmes de Cramer

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 22:59

Ne serais-tu pas un peu de mauvaise foi, là ?

Posté par
jsvdb
re : AB = In ==> BA = In 13-10-21 à 23:10

Bonsoir

J'ai cette idée, mais j'arrive pas à conclure :

On part de AB = I
Cela signifie que pour tout Y vecteur colonne, la relation X = BY entraîne Y = AX.
Mais alors BY = BAX = X d'où (BA - I)X = 0

Comment décoincer la conclusion BA = I dans la mesure où il manque un "quel que soit X" pour conclure ...

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 14-10-21 à 17:50

si AB=I
BAB=B
BAB-B=0
(BA-I)B=0 soit B=0 soit BA=I

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 14-10-21 à 17:52

Oh la la, phyelec, tu raisonne comme si l'anneau des matrices carrées était intègre. Ce n'est sûrement pas le cas !

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 14-10-21 à 18:37

Et oui, vous avez raison GBZM, je n'avais cet aspect en tête quand j'ai rédigé, grossière erreur de ma part.

Posté par
jsvdb
re : AB = In ==> BA = In 14-10-21 à 21:10

C'était exactement mon problème sur le post 13-10-21 à 23:10

Posté par
jandri Correcteur
re : AB = In ==> BA = In 14-10-21 à 21:40

Bonjour,

je sais le démontrer avec une hypothèse plus forte :

s'il existe une unique matrice B telle que AB=I_n alors BA=I_n.

En effet on a A(BA-I_n+B)=A-A+AB=I_n donc BA-I_n+B=B par unicité.

Posté par
jsvdb
re : AB = In ==> BA = In 14-10-21 à 21:59

Et il y a une chose que je ne sais pas :
si A possède un inverse à droite, est-il unique ?
Si A est inversible la réponse est oui ! Mais sinon, je ne sais pas ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 14:08

Moi aussi, il y a quelque chose que je ne sais pas :
Dans un anneau ni commutatif ni intègre, d'élément neutre e pour la loi noté multiplicativement, peut-on avoir \; ab = e \; et \; ba e \; ?
Si la réponse est non, c'est terminé pour les matrices.
Si la réponse est oui, il faudra utiliser quelque chose qui est propre aux matrices pour réussir à démontrer que c'est impossible avec les matrices.

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 14:22

Bonjour Sylvieg,

Tu prends l'anneau des endomorphismes linéaires de \R^{\N}, b le décalage d'un cran à droite avec ajout de 0 au début, a le décalage d'un cran à gauche avec suppression du terme du début. On a bien ab égal à l'identité  et ba différent de l'identité.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 14:34

Merci GBZM

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 14:39

Presque, mais ab n'est pas l'identité mais seulement l'identité sur les N-1 premiers termes. Ca ne fera l'identité que si b est à valeurs dans {0}\times\mathbb{R}^N = \{(0,x_1,\dots,x_n) : (x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^N\} mais alors ce n'est pas exactement un endomorphisme de \mathbb{R}^N mais un morphisme entre deux e.v de même dimension

Par contre dans un espace de Hilbert (de suites) ça fonctionnera sans problème puisqu'on n'aura pas cette barrière à l'infini pour le shift

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 14:49

Ulmiere, prends des lunettes, et tu verras la différence entre \N et N.

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 14:53

Ah oui j'avais pas vu

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 15:53

Bonjour,

Sauf erreur de ma part, l'exercice 5 de ce lien répond aux questions laissées en suspens...

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 15:54

Sinon pour l'exo voilà  deux autres pistes

Piste 1 : Constater que BA est symétrique.
C'est parce que B^TA^T = (AB)^T = I implique BA = B (B^TA^T) A = (BB^T)(A^TA) et comme (A^TA)(BB^T) = A^T(AB)B^T = A^TB^T = (BA)^T.
Ensuite, j'ai pas essayé mais je suppose qu'il doit être possible de montrer que A^TB^T est inversible en  jouant sur le fait que AA^T et B^TB le sont ? Si c'est possible ça permet de supposer sans perte de généralité que A et B sont des matrices symétriques


Piste 2 : Il est clair que si A est inversible, le problème est trivial. On utilise la densité de GLn dans Mn. On se donne une suite (A_n) d'inversibles qui tendent vers A. Par continuité du produit matriciel, BA_n tend vers BA.
En notant C_n = A_nB notre matrice qui tend vers I, on a

BA_n - I = A_n^{-1}C_nA_n - I = A_n^{-1}(C_n-I)A_n

et donc, \lVert BA_n - I \rVert \leqslant \lVert A_n^{-1}\rVert \times  \lVert A_n\rVert \times \lVert C_n-I\rVert

On est donc ramené à montrer que la norme de A_n^{-1} reste bornée, ou plus généralement, que \lVert A_n^{-1}\rVert \times \lVert C_n-I\rVert tend vers 0

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 15:57

Pour l'exo 5 de carpediem, je ne pense pas que cela réponde à la question puisqu'il est supposé que tout élement admet une inverse à droite, ce qui n'est pas le cas de 0 par exemple

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:00

Ulmiere @ 15-10-2021 à 15:57

Pour l'exo 5 de carpediem, je ne pense pas que cela réponde à la question puisqu'il est supposé que tout élement admet une inverse à droite, ce qui n'est pas le cas de 0 par exemple
Non c'est pas carpediem.

On se place dans la structure suivante: les matrices ayant un inverse à droite. Dessus, la multiplication est associative et admet un neutre à droite.
Donc c'est un groupe, et pour chacun des éléments, cet inverse à droite est nécessairement l'inverse.....

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:09

Punaise je suis vraiment à côté de mes pompes aujourd'hui
Il faut montrer que le produit matriciel est une loi de composition interne pour ton ensemble, c'est-à-dire que l'ensemble des matrices inversibles à droite est stable par produit matriciel, non

Posté par
perroquet
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:10

Bonjour.

On remarque que, si B est inversible, alors l'égalité AB = I_n implique que A=B^{-1} (en multipliant l'égalité précédente à droite par B^{-1}) et donc que BA=I_n.

Il reste à démontrer que B est inversible.

On sait que (I_n,B,\ldots,B^{n^2}) est une famille liée car elle est composée de n^2+1 vecteurs dans un espace de dimension n^2.
Il existe donc une famille (\alpha_i)_{0\leqslant i \leqslant n^2} de scalaires non tous nuls telle que  \normalsize  \sum_{i=0}^{n^2} \alpha_i B^i = 0
Si k est le plus petit indice i tel que \alpha_i\neq 0, la relation précédente s'écrit:   \normalsize  \sum_{i=k}^{n^2} \alpha_i B^i = 0
Multiplions par A^k à gauche, en sachant que AB=I_n  :        \normalsize  \alpha_k I_n + \sum_{i=k+1}^{n^2} \alpha_i B^{i-k} = 0    
Et l'égalité précédente peut s'écrire sous la forme:
\normalsize  B \left(- \dfrac{\sum_{i=k+1}^{n^2}  \alpha_i B^{i-k-1}}{\alpha_k}\right)= \left(- \dfrac{\sum_{i=k+1}^{n^2}  \alpha_i B^{i-k-1}}{\alpha_k}\right)B=I_n
Et ceci montre que B est inversible.


On peut généraliser:
si B est un élément d'une K-algèbre (unitaire) E admettant un polynôme minimal, s'il existe A dans E tel que AB=I_n, alors BA=I_n

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:12

Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite

Posté par
GBZM
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:12

Un truc qui a un inverse à droite a-t-il nécessairement un inverse à droite qui a un inverse à droite ?

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:13

Ulmiere @ 15-10-2021 à 16:09

Punaise je suis vraiment à côté de mes pompes aujourd'hui
Il faut montrer que le produit matriciel est une loi de composition interne pour ton ensemble, c'est-à-dire que l'ensemble des matrices inversibles à droite est stable par produit matriciel, non
pas faux! Mais c'est évident, non?

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:16

Ulmiere @ 15-10-2021 à 16:12

Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
ah!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 16:49

Avez-vous lu le message de perroquet à 16h10 ?
N'y est utilisée que la dimension finie de l'espace vectoriel des matrices.
Bravo l'artiste

Posté par
bernardo314
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 17:15

Sylvieg :  dans le texte de perroquet je ne vois pas pourquoi  AkBk serait l'identité ?

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 17:16

bernardo314 @ 15-10-2021 à 17:15

Sylvieg :  dans le texte de perroquet je ne vois pas pourquoi  AkBk serait l'identité ?
Car AB est l'identité...

Posté par
bernardo314
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 17:17

erratum : oui  ok ça marche (par récurrence) ..

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 17:18

Sylvieg @ 15-10-2021 à 16:49

Avez-vous lu le message de perroquet à 16h10 ?
N'y est utilisée que la dimension finie de l'espace vectoriel des matrices.
Bravo l'artiste
Carrément! J'étais focus sur ma preuve...

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 17:28

Ulmiere @ 15-10-2021 à 16:12

Enfin, pour le produit c'est évident, mais je veux dire qu'il faut montrer que si A a un inverse U, ce U est aussi un élement de l'ensemble, i.e a un inverse V à droite
En fait, oui. En reprenant la même démarche que le corrigé, on prouve qu'un inverse à droite est un inverse à gauche...en particulier tout inverse à droite admet donc un inverse à droite...

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 18:07

Après, si on se permet de parler de rang et de dimension, y'a bien une solution facile :

Si AB = I alors B est injective. En effet, pour tout vecteur X, si BX = 0, ABX = A(0) = 0 et ABX = X, donc X = 0.

Et le théorème du rang nous dit que B inversible ssi B surjective ssi B inversible

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 18:42

Citation :
Après, si on se permet de parler de rang
Où dans la démonstration de perroquet ?

Posté par
carpediem
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 19:08

salut

je suivais de loin n'ayant aucune idée ...

donc merci à tous pour ces résultats !!

Posté par
Foxdevil
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 19:39

Ulmiere @ 15-10-2021 à 18:07

Après, si on se permet de parler de rang et de dimension, y'a bien une solution facile :

Si AB = I alors B est injective. En effet, pour tout vecteur X, si BX = 0, ABX = A(0) = 0 et ABX = X, donc X = 0.

Et le théorème du rang nous dit que B inversible ssi B surjective ssi B inversible
Heu....on utilise des endo là

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 19:58

Foxdevil @ 15-10-2021 à 19:39

Ulmiere @ 15-10-2021 à 18:07

Après, si on se permet de parler de rang et de dimension, y'a bien une solution facile :

Si AB = I alors B est injective. En effet, pour tout vecteur X, si BX = 0, ABX = A(0) = 0 et ABX = X, donc X = 0.

Et le théorème du rang nous dit que B inversible ssi B surjective ssi B inversible
Heu....on utilise des endo là


Si on l'appelle théorème du rang, oui, mais le théorème d'isomorphisme est valable dans beaucoup de catégories
On peut travailler dans l'anneau M_n(K) vu comme l'ensemble des tableaux nxn avec deux opérations, des définitions de injective, surjective, image et noyau en fonction de ces opérations, et paraphraser la preuve du théorème en disant que Im(B) + Ker(B) est inclus dans M_n(K) et que B injectif implique qu'ils sont en somme directe (parce que si Y = BX est d'image nulle par B, il est nul donc BX = 0 donc X = 0) et donc Im(B) = M_n(K) et B est surjective, donc B est bijective

Posté par
bernardo314
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:06

Ulmière : oui mais ça je l'avais écrit hier

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:22

bernardo314 @ 15-10-2021 à 20:06

Ulmière : oui mais ça je l'avais écrit hier


Oui, mais sans parler de systèmes de Cramer qui sont définis à l'aide d'un déterminant en général


Sylvieg @ 15-10-2021 à 18:42

Citation :
Après, si on se permet de parler de rang
Où dans la démonstration de perroquet ?


Nulle part, elle est très bien cette démonstration

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:34


est-ce qu'on pourrait écrire?
AB=I
BAB=BI
BAB=IB
(BA)B=IB  donc I=BA

Posté par
Ulmiere
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:40

phyelec78 @ 15-10-2021 à 20:34


est-ce qu'on pourrait écrire?
AB=I
BAB=BI
BAB=IB
(BA)B=IB  donc I=BA


Non, l'anneau des matrices n'est pas intègre et tu ne peux pas "simplifier par B" des deux côtés. Pour pouvoir le faire, il faut d'abord montrer que B est inversible.

Posté par
phyelec78
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:44

merci Ulmere pour votre réponse. En fait dans mon idée je ne simplifiais pas j'identifiais terme à terme. Donc c'est faux. Merci. Je suis perplexe.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : AB = In ==> BA = In 15-10-21 à 20:46

Citation :
(BA)B=IB donc I=BA
Dans un anneau non intègre

De plus, il a été clairement mis en évidence qu'on ne pouvait pas espérer aboutir en se contentant d'utiliser les propriétés d'un anneau.
Voir l'exemple de GBZM à 14h22.

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