Bonsoir coa347.
Elle est définie classiquement par récurrence

n x m = 0                         si m = 0
n x m = n x p(m) + n  si m > 0

si on note p(m) le précédent de m dans . Donc p(m) vérifie p(m) + 1 = m.

Bonsoir jsvdb,

Merci pour ta réponse. Donc par récurrence (j'avais regardé les axiomes de Peano entre-temps) : on contourne la difficulté en créant (par axiome) une fonction successeur, sur laquelle on se base pour définir l'addition puis la multiplication.

Reste le problème de deux lois de composition qui munissent le même ensemble, dont l'une (la multiplication) est définie à partir de l'autre (l'addition).
Cela me gêne quelque part. Cela tient la route, mais on se demande pourquoi on a eu besoin de deux opérations finalement.
En gros, la multiplication apparaît comme superfétatoire.

Si la multiplication te paraît superfétatoire, que diras-tu de l'exponentiation puis des super puissances avec le symbole de Knuth ?
Je m'imagine mal exprimer des puissances avec juste des additions

Donc pour toi, la multiplication n'est qu'un procédé commode pour simplifier les calculs, et leur présentation, comme peut l'être l'exponentiation.

Pourtant, on munit Z, Q, R et C, de ces deux lois, pour en faire des anneaux et des corps. En fait c'est cela que je trouve curieux : c'est qu'on a des propriétés très particulières avec ces deux lois, qui reviennent tout le temps, qu'on ne retrouve pas avec l'exponentiation.
Et que sur tous les anneaux usuels, on a une addition et quelque chose qu'on appelle une multiplication, même si elle n'a pas la même forme en général que la multiplication des nombres. Cela donne à penser que la multiplication est autre chose qu'une simple juxtaposition d'additions.

Dans , la multiplication est à l'origine une opération de simplification. On en a gouté les vertus et on en a étendu le procédé à pleins d'autres structures.

Avec l'exponentiation, on a quand même des pseudo distributivités : et

On pourrait donc munir un anneau d'une troisième opération qui vérifie ces propriétés (d'ailleurs il me semble que ça existe)

Et d'une quatrième avec le symbole de Knuth.

Bonjour jsvdb et merci.

Finalement la multiplication qui est quelque chose de simple dans N et qui découle entièrement de l'addition (en identifiant le successeur avec l'addition de 1), devient quelque chose de beaucoup plus riche dans C puisque la multiplication dans C correspond à une rotation + homothétie positive (il y a un mot pour cela) du vecteur image dans le plan complexe.
On ne peut plus déduire la multiplication des complexes de l'addition des complexes. Idem pour les matrices.

Celz laisse à penser que la multiplication est bien une opération à part, pour lequel on ne peut trouver un lien direct avec l'addition que dans N, Z, Q et R, donc dans les espaces à une dimension.

Je dirais parce qu'il y a plusieurs "multiplications" dans R^n, celle calquée sur R : (x,y)*(x',y')=(xx',yy'), qui réagissent comme la multiplication simple, et d'autres comme celles des complexes et des matrices.

Cela commence à s'éclairer un peu.

Mais j'ai le sentiment qu'introduire la multiplication dans N avec l'addition est un peu artificielle : 3*4=4*3 parce qu'on peut retourner le tableau, pas à cause d'une addition.

Bon je vais étudier les axiomes de Peano si j'ai le temps, j'y verrai peut-être plus clair.

salut

dans N ou Z ou Q ... ou C tu peux définir la multiplication à partir de l'addition (enfin par extension et prolongement dès qu'on arrive à Q)

parce que ce sont tous des sous-ensembles d'un même corps ...

mais si tu prends par exemple un espace vectoriel (ou un module) sur un corps (ou anneau) tu vois bien que la multiplication est indépendante et même n'a rien à voir avec l'addition sur l'espace vectoriel

et mêm su 2u = u + u  la construction de cette multiplication "externe" ne provient que des structures sur l'ensemble des scalaires

de plus dès que tu passes de 2 * 3 par exemple à (ou même simplement aux rationnels) tu vois bien que la multiplication est une opération indépendante de l'addition ...

Bonsoir carpediem,

Si la multiplication est externe, elle ne peut plus être définie via une addition : comment définir 2,7u à partir d'une addition sur u...
Si la multiplication est interne, avec ton exemple , ce serait vraiment tiré par les cheveux de vouloir définir cette multiplication à partir d'une addition (mais cela ne me semble pas impossible).

Je te rejoins, la multiplication est une opération indépendante de l'addition.
D'où : pourquoi dans N, on la définit à partir de l'addition ? et pourquoi cela ne marche convenablement que là et dans Z ? A partir de Q, on fait une division, la gymnastique devient difficile et artificielle.

Les additions et multiplication dans et sont définies naturellement.
Elles ont des propriétés. Et ce sont seulement les propriétés de ces opérations que l'on conserve pour passer à des ensembles plus compliqués.
D'où ce coté "tiré par les cheveux" de vouloir définir une multiplication à partir d'une addition en dehors des ensembles "naturels" que sont N et Z.

C'est ce que l'on appelle conceptualiser.

Bonsoir jsvdb,

Donc pour toi, si je comprends bien, la multiplication n'est pas une opération indépendante de l'addition ?

Il faut que je regarde comment dans Peano on prouve que la multiplication est commutative. Si la multiplication découle de l'addition, par quel heureux hasard 5 fois 3 fait la même chose que 3 fois 5 ?

Bonjour jsvdb,

Oui c'est ce que j'ai pensé aussi entre-temps. Ce n'est donc pas une question d'indépendance, mais de l'une (la multiplication) qui découle ou non de l'autre (l'addition) : vrai dans N (mais il faut prouver aussi les lois qui régissent la multiplication : commutativité, associativité, distributivité sur l'addition, élément neutre 1), paraît moins vrai dans R, sauf à faire un gros effort d'abstraction, alors que toutes les lois de la multiplication semblent vivre leur vie indépendamment de l'addition (sauf la distributivité bien sûr).

Finalement, je pencherais pour oui : la multiplication découle de l'addition.
Tu le résumes bien :

jsvdb @ 20-09-2019 à 23:09

Dans , la multiplication est à l'origine une opération de simplification. On en a gouté les vertus et on en a étendu le procédé à pleins d'autres structures.

Bonjour

Je ne suis pas d'accord; même s'il y a un rapport entre addition et multiplication, je ne dirais pas que l'une découle de l'autre. Que fais-tu de l'anneau des matrices à coefficients dans un anneau, de l'anneau des fonctions d'un ensemble quelconque à valeurs dans un anneau? Et peut-être encore plus différent: l'ensemble des parties de d'un ensemble X muni des lois
et
où désigne le complémentaire de dans .

Bonsoir Camélia,

Je ne parlais de prime abord que de la multiplication des réels. Si on l'admet pour la multiplication des réels, on peut admettre que la multiplication des matrices à coefficients réels découle de l'addition des entiers (puisque c'est une combinaison d'additions et de multiplications de réels), etc..., mais bien sûr pas de l'addition des matrices.

Non, non, non, je n'ai pas dit que la multiplication découlait systématiquement de l'addition dans tous les cas; c'est mal interpréter mes propos.

Il est clair que dans , la multiplication naît de l'addition :
5+5+5+5+5+5+5 est plus commode à écrire sous la forme 7*5 parce que j'ai compté que j'additionnais précisément 7 fois le nombre 5.

On peut faire pareil pour l'exponentiation qui naît alors de la multiplication :
5*5*5*5*5*5*5 est plus commode à écrire 5^7 (ou encore ) pour des raisons identiques

Au passage, on peut pousser encore :
5^(5^(5^(5^(5^(5^(5^5)))))) est plus commode à écrire sous la forme

et on peut continuer ainsi

etc etc

Dans , on peut encore dire que la multiplication naît de l'addition moyennant le fait que

Mais alors après, avec un peu d'imagination, dans , on s'en sort à peu près : et pour voir le lien, il faut quand même aller chercher dans les classes d'équivalence, mais on peut s'en sortir.

Dans , c'est mort, sauf si on construit par les suites de Cauchy quotientées. M'enfin là, ça devient vraiment compliqué.

Alors bien entendu, pour des corps quelconques, on oublie.

Il n'empêche, et c'est ça qui est important, c'est que la multiplication a des points communs avec l'addition, et ces points communs, on les extrait de l'addition et de la multiplication dans :

- la multiplication dans est associative comme l'addition.
- la multiplication dans possède un neutre comme l'addition en possède un.
- la multiplication est distributive sur l'addition (propriété phare de subordination)

Et ce sont ces trois propriétés qui passeront à la postérité pour construire des "multiplications". C'est en ce sens que je dis que la multiplication découle de l'addition. Il y a une relation quasi génétique entre la multiplication est l'addition.

Et bien entendu, pour renforcer cet argument, pas "d'addition" sur un ensemble, pas de "multiplication" sur ledit ensemble.

Alors je vois d'ici l'objection : ah oui, mais sur je peux très bien conserver le graphe de la multiplication classique en supprimant l'addition.
Je réponds très simplement : Ok, avec cette nouvelle opération, qu'on pourrait rebaptiser "addition", conserve son rang de monoïde (commutatif).
C'est une opération qui a les même vertus que l'addition classique dans et là, par contre, c'est quoi la "multiplication" correspondante ?
L'exponentiation classique ?
bah non car on n'aurait pas .
Il faudrait donc trouver sur un opération * telle que
Si on part du monoïde et qu'on veut construire un plus petit groupe qui contienne (au sens d'une injection) , alors il va falloir partir d'une relation d'équivalence dans et on va construire un objet de type .
Mais ça ne donne toujours pas une "multiplication" pour .

Alors bonne recherche ... et vous constatez que tout ceci a un côté artificiel.

Bonsoir,
j'en rajoute un peu.

Dans un monoïde on peut toujours définir une  « multiplication externe » par un élément de N.
Dans un groupe on peut toujours définir une  « multiplication externe » par un élément de Z.

On le fait récursivement :  e désigne l'élément neutre du monoïde ou du groupe
on défini n.x par



où x est un élément du monoïde ( resp. du groupe ) et n un élément de N ( resp. Z ).

Ce qui est bien c'est que ça donne des lois internes quand on applique ces définitions à N ou Z.

En fait j'avais ouvert un fil pour parler de choses comme ça : Z-modules

Bonjour,

jsvdb Je ne vois pas pourquoi il faudrait trouver à la multiplication une opération semblable à l'opération qu'est la multiplication pour l'addition, pour faire de la multiplication une opération qui ne découle pas de l'addition (si j'ai bien compris ce que tu veux dire) : parce que l'addition a "sa" multiplication, tandis que la multiplication n'a pas "sa" multiplication ?  Et même si c'était le cas, ... . A mon avis, ce n'est pas convaincant pour montrer que la multiplication découle de l'addition.

Finalement, il faut bien admettre que la multiplication (des réels) découle de l'addition (des entiers) puisque c'est construit comme cela dans les maths.
Sinon, comment construire la multiplication (des entiers, puis des réels) autrement ? quels nouveaux axiomes ?

Rien de tout cela pour l'union et l'intersection des ensembles : elles ne sont pas indépendantes (double distributivité), mais aucune ne découle de l'autre (les définitions sont indépendantes). Idem pour l'addition et la multiplication des matrices : elles sont définies indépendamment l'une de l'autre, même si elles ont des liens.

En tout cas, ce qui est rassurant, c'est qu'au vu du nombre d'intervenants sur ce fil, le malaise que je ressens à cette constatation (une loi qui découle de l'autre sur un même ensemble, et qui en font un anneau ou un corps) n'est pas isolé.

verdurin : je ne vois pas bien le rapport entre ton message et le sujet du fil.

Dans toute cette histoire, il y a quand même un point qui n'est pas réellement défini et qui est l'auteur des malentendus : quelle est la définition mathématique du mot "découle" ?
Quand ce point sera résolu, alors on pourra lever un certain nombre de malaises (enfin, perso, ça ne m'empêche pas de dormir)

Bonjour,

Ce n'est pas ça qui m'empêche de dormir non plus, Mais cette nuit c'est une triste nouvelle que je viens d'apprendre dans ma famille.

Découle, ben : est défini en utilisant ... .
la multiplication est définie en utilisant (en faisant référence à) l'addition. Pour moi, c'est quand même un pavé dans la mare (pour ne pas dire, un monde qui s'effondre) dans les maths.

Je te présente mes sincères condoléances ainsi qu'à tes proches.

Hier, je faisais réciter sa leçon de calcul à ma fille en CM1 et c'était précisément sur la multiplication :
« La multiplication est une addition de nombres identiques »
Je trouve cela très bien vu à ce niveau et ça traduit très bien le fait que la multiplication, dans l'ensemble des entiers naturels, découle directement de l'addition.

Après, dire que cela jette un pavé dans la mare qu'il puisse y avoir un lien entre l'addition et la multiplication est à mon avis forcer un peu le trait.
En effet, il y a pléthore d'objets mathématiques qui sont définis en faisant référence à d'autres objets; Addition et multiplication en sont deux particuliers.

Bonjour jsvdb,

Merci. Tu as raison, il y a sûrement d'autres exemples. Là il s'agit de nos ensembles et de leurs structures les plus fondamentales (qu'on voit dès le CM1, et même on commence en maternelle avec l'addition des nombres entiers). Mais on ressent la multiplication comme indépendante de l'addition (dès qu'on est en dimension 2 ou plus, pour mesurer la taille d'un terrain par exemple).

Mais en fait ce faisant, on fait mentalement une addition en appliquant la distributivité (2,4 m x 4,73 m = ... + ... +.......).

La multiplication est à la fois une nouvelle loi et une simplication d'écriture. On les accole pour faire une structure qui se tient. Finalement rien de choquant à cela.