euh convaincue ne serait pas le mot exact, mais j'arrive à le retrouver facilement

en effet si f symétrique alors <f(x),y> = <x, f(y)> = <f*(x), y >
et donc f=f*
tout à l'heure vous m'avez demandé comment je déduisais de mes calculs que f*=f, je le réutilise ici ... quel règle j'utilise exactement ? je pense que c'est vrai, mais je ne retrouve pas la régle qui permet de le faire ... l'unicité du produit scalaire ?

YES ! question 2 : ok !

je vous remercie énormément pour votre patience !

demain matin, je m'attaque à la question 3 qui sera, je l'espère, plus simple à traiter !

Il me semble bien (j'ai vérifié) que c'est la première fois que tu établis de manière correcte que pour tous x, y on a <f(x),y> = <f*(x),y>.
Est-ce que "l'unicité du produit scalaire" (expression qui n'a pas grand sens) veut dire que :
Si pour tout y  <u,y> = <v,y> alors  u = v ?
Ca permet effectivement de déduire f=f* de l'égalité que tu as démontrée.

Enfin quand je t'ai demandé comment tu déduisais f=f*, c'était à propos de ça : "j'ai f*=f* o f* = f* o f j'en déduis que f* = f ". C'est bien différent.

d'accord j'ai bien compris toutes les étapes ! merci

Bonne soirée et encore merci

Avec plaisir.

Bonjour !

Pour éviter les confusions, je réserve un post juste pour mettre la suite du sujet:

soit f un projecteur dans L(E) où E est un espace vectoriel euclidien

1/ on a mq f* est un projecteur
2/ on a l'équivalence : f*=f ssi f projection orthogonale sur Im(f)

3/on suppose que f* et f commutent :

a) mq fof* projection orthogonale
b) démontrer que ker(fof*)Im(f)={0}
c) déduire que ker(fof*) = ker(f) et im(fof*)=im(f)

4/ déduire que f*et f commutent ssi f=f*

mon raisonnement va suivre !

3/ a)

pour mq fof* est une projection ortho il faut mq (fof*)*=fof* (d'après qst 2)

or (fof*)*=f** o f*
or f**=f donc (fof*)* =f o f*

d'ou fof* est une projection ortho

est-ce exact ?

b)

soit x dans ker(fof*)im(f). on veut mq x=0

x dans ker(fof*) donc (fof*)(x) = 0
et x dans im(f) donc il existe y dans E tq f(y)=x

donc (fof*)(x)=(fof*)(f(y)) = (fof*of)(y) = (fofof*)(y) car f* et f commutent
= (fof*)(y) car fof=f
= (f*of)(y) = f*(f(y)) = f*(x)

or (fof*)(x) = 0 donc f*(x)=0

<f*(x),y >  = <0,y> = 0
= <x,f(y)>
or pour tout y dans E, il existe z dans im(f) et z0 tq f(y)=z


donc on a <x,z> = 0 avec z0 donc on en déduit que x=0
et donc l'intersection est réduite à 0

je suis pas très convaincue par la fin de mon raisonnement.. comment puis-je faire autrement ?

c)
on veut mq ker(fof*)=ker f par double inclusion

si x dans ker f alors f(x)=0
fof*(x) = f*of(x) car f* et f commutent
=f*(f(x))=f*(0)=0 donc x dans ker (fof*)

d'ou ker f ker (fof*)

de plus, pour tout x dans E, on peut écrire x=f(x)+x-f(x) avec f(x) dans im(f) et x-f(x) dans ker f  or d'après l'inclusion précédente, x-f(x) dans ker(fof*)

donc E = ker(fof*) + im(f)
or on a mq ker(fof*)im(f)={0}
donc E = ker(fof*)im(f)


donc dimE = dim(ker(fof*)) + dim (imf)

par le théorème du rang on a :

dim E = dim(ker(f)) + dim(imf)

donc on obtient dim(ker(fof*))=dim(kerf)

et donc avec les dimensions et la 1ere inclusion, on a ker(fof*)=ker(f)

quand pensez vous ?

mq im(fof*)=im(f) ?

si y dans im(f) alors il existe x dans E tq f(x)=y

je n'arrive pas a montrer cette inclusion.. une idée ?

de plus, on a dim E = dim (ker(fof*)) + dim(im(fof*)) th du rang
et par la qst 2, (raisonnement au dessus)
dimE = dim(ker(fof*)) + dim (imf)

donc on en déduit que dim(im(fof*)) = dim(imf)
et par suite avec l'inclusion, on a im(fof*)=im(f)

4/ mq que f et f* commutent ssi f=f*

1. si f=f*
on a fof* = f*of directement grace à l'agalité donc f et f* commutent

2. supposons que f et f* commutent
je regarde toute les données trouvées mais je ne vois pas comment les rassembler pour montrer que f*=f

merci pour votre aide

est-ce-que quelqu'un pourrait me répondre, afin que je puisse un jour finir ce dm ...

Merci d'avance

Bonjour,

voici les données :

- f* est l'adjoint de l'endomorphisme f, qui est un projecteur
on sait que f* est aussi un projecteur.
- f et f* commutent
- ker(f)=ker(fof*)
- fof* est une projection orthogonale
- f=f* ssi f est une projection ortho sur im(f)
- intersection entre ker(fof*) et im(f) est réduite à 0

j'aurais besoin de votre aide pour réussir à montrer que im(f) inclu dans im(fof*)

De même, comment montrer que si f et f* commutent alors f=f*


Merci d'avance

Bonne journée

*** message déplacé ***

fof* est une projection orthogonale donc son image et son noyau sont supplémentaires.
X = X1 + X2 où X1 est dans Ker(fof*) et X2 dans Im(fof*)
Comme ker(f)=ker(fof*), f(X1) = 0
f(X) = f(X2) donc un Y de Im(f) est dans Im(fof*)

*** message déplacé ***

Je vous remercie, en effet c'était simple il suffisait de choisir dans toutes les données, une chose utile ! Merci bcp

Auriez-vous une idée pour mq si f et f* commutent alors f=f* ?

Merci pour votre aide

*** message déplacé ***

On est bien en dimension finie ?
fof* est une projection orthogonale, donc son noyau et son image sont des s.e.v. orthogonaux.
ker(f)=ker(fof*) et im(f) inclu dans im(fof*) donc ker(f) est orthogonal à tous les vecteurs de im(f).
De plus l'intersection entre ker(fof*) = ker(f) et im(f) est réduite à 0.
im(f) et ker(f)sont en somme directe. Comme la somme de leurs dimensions est celle de l'espace, dim im(f) = dim imf(fof*) et comme im(f) inclu dans im(fof*) :
im(f)= im(fof*)
ker(f) et im(f) sont donc deux sev orthogonaux, f est donc une projection orthogonale sur im(f) donc f = f* .

*** message déplacé ***