Si E est un K-ev , est appelé projecteur tout élément f de L(E) qui vérifie f o f = f .

d'accord, étant donné que j'avais supposé qu'un projecteur était une projection, j'avais ce critère

donc pour montrer que f* est un projecteur, il faut montrer que f*o f*=f*

(fof)*=f* o f* (par définition de l'adjoint)
et (fof)*=f*

donc on obtient bien f* o f*=f*
donc f* est un projecteur

est-ce-cela ?

pour la qst 2)

j'ai essayé les 2 sens mais je ne vois pas comment faire, qu'est ce que cela induit le fait que f soit une projection orthogonale sur im(f) ?

merci pour vos lumières !

Quelles sont tes données ?
Comment est défini l'adjoint f* ?

et bien je sais que f et f* sont des projecteurs, c'est a dire que fof=f et f* o f*=f*
de plus f* est l'adjoint de f donc <f*(u), v> = <u, f(v)>

donc supposons que f*=f
on a <f*(u), v> = <f(u), v> (par hypothèse)
                = <u, f(v)> (par déf de l'adjoint)

donc f(u)=u donc f(u)-u=0 et (f-id)(u)=0 u ker(f-id)...

je ne vous pas bien comment déduire de ça que c'est une projection orthogonale sur im(f)

f* est l'adjoint de f donc <f*(u), v> = <u, f(v)> n'est pas une proposition . Il y manque au moins un quantificateur .

Je suppose que tu as un -ev E et un produit scalaire <. ,.> sur E ?.
Dim(E) est-elle finie ?
Je t'ai demandé les données du problème .

ah désolé, la seule chose que je sais c'est que E est un espace vectoriel euclidien et f L(E) un projecteur

Pour la proposition, elle est pour tout (u,v)dans E²

Le théoréme qui définit l'adjoint dit :
Pour tout u L(E) , il existe un seul élément de L(E) (noté u* ,appelé..) qui vérifie  la propriété P := "(x,y) E² , <u(x) , y> = <x , u*(y)> "
Tu as donc un moyen pour montrer que 2 éléments de L(E) sont égaux . C'est qu'ils vérifient P .

je ne vois pas...

cela serait utile pour montrer que si f est une projection orthogonale sur im(f) alors f*=f
et on montre que f*=f avec la proposition que vous avez ennoncé ?

néanmoins, si f est une projection orthogonale qu'est-ce-que cela me dit ?

merci

Purquoi ne regarder que les  projections orthogonales   uniquement ? Il n'y en apas d'autres ?

je m'intéresse aux projections orthogonales car on me demande de montrer que f*=f ssi f est la projection orthogonale sur Im(f)

une idée : est ce que si pour tout x,y dans E, on a <f(x),y> = <x, f(y)> celà signifie que l'on a f projection orthogonale sur im(f) ?

Merci

Bonne soirée

L'énoncé exact (c'était assez fluctuant dans tes messages) c'est bien le suivant ?
"Soit f un projecteur. Alors f est autoadjoint (f*=f) si et seulement si f est la projection orthogonale sur Im(f)".
Pour éclaircir les choses, tu pourrais commencer par préciser ce que veut dire "projection orthogonale sur Im(f)".

Désolé si je ne suis pas clair...

Oui l'énoncé est celui que vous avez énoncé

mon problème est belle et bien de préciser ce que signifie "projection orthogonale sur IM(f)"
j'ai déjà travaillé avec des projection "normale" mais sur des exemples concrets, donc là je ne sais pas bien comment faire

Je sais que la projection orthogonale sur Im(f) correspond à la projection sur Im(f) parallélement à im(f) perpendiculaire

Bon, tu as précisé ce que veut dire "projection orthogonale sur Im(f)" : c'est la projection sur Im(f) parallèlement à l'orthogonal de Im(f).
Donc finalement, ce que tu as à montrer c'est, en supposant que f est un projecteur (donc la projection sur Im(f) parallèlement à ker(f)) :
1°) que si f=f*, alors ker(f) est l'orthogonal de ker(f)
2°) que si ker(f) est l'orthogonal de Im(f), alors f=f*.

ok je comprend mieux, il me manquait la rapprochement entre im(f) et ker(f)
donc j'essaye et je vous tiens au courant !

merci

bon ben je n'abouti à rien, j'essaye de montrer dans un premier temps

on suppose f=f*, mq ker(f)=im(f) orthogonal

j'essaye de montrer par double inclusion, mais je n'arrive à rien ...
Help ! :/

Merci

on a dim E = dim (Imf) + dim (imf ortho) car E = imfimf ortho
donc dim (imf) = dim E - dim (imf ortho)

de plus dim E = dim (kerf) + dim (imf) = dim(kerf) + dimE -dim (imf ortho)  (théorème du rang)
donc dim (kerf) - dim(imf ortho)=0
donc dim(kerf) = dim(imf ortho)

on a égalité des dimensions, donc il suffit de montrer une inclusion non?

j'ai peut-etre trouvé une idée pour mq si f=f* alors f projection orthogonale sur imf

on suppose f=f*, de plus f est une projection orthogonale ssi kerf = imf ortho

soit x dans ker f donc f(x)=0
soit y dans im(f), il existe z dans E tq f(z)=y

<x,y> = <x,f(z)> = <f*(x),z> = <f(x),z> car f*=f
= <0,z> = 0
donc x et y sont orthogonaux, et donc x dans imf ortho
donc ker f inclu dans im f ortho

de plus dim (kerf)=dim(imf ortho) (cf post précédent)

donc ker(f)=im(f) ortho


est-ce-que cela convient ?

cela ne montre que la premiere inclusion

supposons maintenant que f soit une projection ortho sur im(f)
donc on a ker(f) = im(f) ortho

c'est a dire <f(x), x> =0 pour tout x dans E

<f(x+y), x+y> = 0
or = <f(x) + f(y), x+y > = <f(x), x> + <f(x),y> + <f(y), x> + <f(y),y>

on a <f(x), x> = <f(y),y> = 0

donc  0 = <f(x+y), x+y> = <f(y), x> + <f(x),y>
or <f(y),x> = <y, f*(x)> = <f*(x), y >

donc <f(x),y> = - <f(y),x> = - <f*(x),y>

j'obtiens f= -f*........... Problème !

Que faire ? merci

"c'est a dire <f(x), x> =0 pour tout x dans E "
Tu peux expliquer pourquoi ?

et bien on a ker(f)=im(f) ortho c'est a dire  que si on prend un x dans im(f) il existe un y dans E tq f(y)=x ...

Non en fait je croyais que c'était vrai mais ça l'est peut etre pas...

dites moi svp

Donc ton argument ne tiens pas.
Tu cherches à montrer f*=f. Reviens à la définition de f* : pour tout x de E, f*(x) est l'unique élément de E tel que, pour tout y de E, <f*(x),y> = <x,f(y)>. Vois-tu ce qu'il te reste à faire pour montrer f*=f ?

ok j'ai < f*(x), y> = <x, f(y)>

il faudrait que j'obtienne quelque chose comme <f*(x), y> = <f(x), y> pour pouvoir en déduire que f*=f

le soucis est qu'il faut obligatoirement que je me serve du fait que f est une projection orthogonal sur im(f) mais je ne vois pas comment...

Il serait plus astucieux d'essayer de montrer que pour tous x,y on a <f(x),y> = <x,f(y)>.

en quoi montrer cela permettrai de prouver que f*=f ? est ce par rapport au fait, que si f est symétrique alors f=f* ?

donc on veut mq f est symétrique

on sait que < f*(x), y> = <x, f(y)> mais je ne sais pas quoi en faire ! j'avance pas....je tourne en rond...

M'enfin?? Relis la définition que j'ai rappelée plus haut.

je suis vraiment désolé mais je sais vraiment pas quoi en faire....

On n'a pas trop le choix. Il faut faire intervenir Im(f) et ker(f). Voyons, sachant que f est un projecteur, peux-tu décomposer explicitement un élément z de E comme somme d'un élément de Im(f) et d'un élément de ker(f) ? Fais un petit dessin de projection si tu ne sais pas répondre tout de suite).

si z dans E alors on peut écrire z = f(z) + (z-f(z))
et on a f(z) dans im(f) et z-f(z) dans ker(f)

C'est ça ?

Ok, continue maintenant

donc z = f(z) +z -f(z)
si on écrit la proposition

<f*(z), x> = <f*(f(z)+z-f(z)),x> = <f*(f(z)) + f*(z-f(z)), x> = <f*(f(z)),x> + <f*(z-f(z)),x>
= <f(z),f(x)> + <z-f(z),f(x)> car f* adjoint de f

or z-f(z) dans kerf =  im(f) ortho et f(x) dans im(f) donc <z-f(z),f(x)> = 0

d'ou <f*(z),x> = <f(z),f(x)> = <f*(f(z)),x>

donc f* = f*of
or f*=f*of* car f* projecteur, donc f=f*

je ne suis pas sur que mon raisonnement tienne ... ???

Je ne comprends pas la fin de ton raisonnement. Pourquoi le dernier "donc" ?
Et pourquoi aussi n'essaies-tu pas de montrer <f(x),y> = <x,f(y)> ?

et bien vu que j'ai f*=f* o f* = f* o f j'en déduis que f* = f ... mais je peux peut etre pas

je ne sais pas comment partir pour arriver à la symétrie en utilisant la décomposition du z

Ma question est : quel est l'argument qui te permet d'en déduire f*=f ? Tu dois bien avoir une idée ? Tu n'alignes tout de même pas des affirmations au petit bonheur la chance ?
Que z s'appelle z ou x ou y n'a aucune importance.
Allez, <f(x),y> = ...
Tu as eu une bonne remarque dans ton calcul précédent pour montrer <z-f(z),f(x)> = 0. Essaie de t'en servir ici

<f(x), y> = <f(f(x)+x-f(x),y> = <f(f(x)) + f(x-f(x)),y> = <f(x) + f(x-f(x)),y>
= <f(x),y> + <f(x-f(x)),y> = <f(x),y> + <0,y> car x-f(x) dans ker(f) donc f(x-f(x))=0

je retombe au meme endroit...

Ne reste pas les deux pieds dans le même sabot ! Tu as décomposé x et tu n'as rien pu en faire. Et là tu t'arrêtes, comme si tu ne voyais pas d'autre possibilité...

vraiment je n'y met pas de la mauvaise volonté, ça fait 2 jours que je bosse là dessus, pour avoir tjrs rien, et tourner en rond, j'ai au moins 10 feuille de calculs avec plein d'essais et rien qui abouti...

bon je reprends avec autre chose mais je sais pas si c'est valable...  parce que je n'arrive pas a utiliser la décomposition pour retrouver quelque chose qui m'aide.

on a f projection orthogonale sur im(f) donc f symétrique,
ainsi on a <f(x),y> = <x,f(y)>
De plus, par la déf de l'adjoint, <f*(x),y> = <x,f(y)>
donc des 2 égalités qui précédent on a

<f*(x),y> = <f(x),y>
et j'en déduis (peut-etre) que f*=f

est ce possible comme ça ? où je n'ai pas le droit de dire que comme f projection ortho sur im(f) alors f symétrique ?

ce raisonnement est celui proposé par mes collègues, néanmoins je crois qu'il n'est pas valide,

en effet si je sais que f est une projection ortho sur im(f) et que j'en déduis que f est symétrique directement il n'y a pas de soucis, puisque la symétrie montre facilement que f*=f...
donc ça ne doit pas aller

s'il vous plait aidez moi à faire cette implication pour que je puisse commencer à me torturer avec la qst 3..

Je suis d'accord avec toi pour dire que vu que f symétrique veut dire f=f*, l'argument "f projection orthogonale sur im(f) donc f symétrique" ne démontre rien.

Je me répète : "Tu as décomposé x et tu n'as rien pu en faire."
Pourquoi ne te vient-il pas à l'idée d'essayer la décomposition de y dans <f(x),y> ?

j'ai essayé mais j'ai rien trouvé je recommence

<f(x), y> = < f(x), f(y) + y -f(y) > = <f(x),f(y)> + <f(x),y-f(x)>

or f(x) dans im(f) et y-f(y) dans ker(f) donc dans im(f) ortho
donc <f(x), y-f(y)> = 0

donc <f(x),y> = <f(x), f(y)>
et <f(x),y> = <y, f(x)> = < f*(y),x >
et <f(x),f(y)> = < f*(f(y)),x >

donc <f*(f(y)),x> = < f*(y),x>
d'ou f*(f(y)) = f*(y)
donc f* o f = f*

je sais pas si ça sert

Je te rappelle que le but de la manoeuvre était de montrer <f(x),y> = <x,f(y)>.
J'ai l'impression que tu oublies en cours de route ce que tu as à montrer et que tu te fourvoies alors dans des impasses.
Donc récapitulons. Tu viens de montrer <f(x),y> = <f(x),f(y)> . Bien. Quelle est la prochaine étape pour arriver au but <f(x),y> = <x,f(y)> ?

il nous faudrait f(x) = x du coup non ?

Non, tu ne peux raisonnablement pas espérer ça : un x quelconque n'a aucune raison d'être dans l'image de la projection f !

là du coup je ne vois pas une autre façon de repartir d'ici sans passer par l'adjoint, redécomposé le x ou le y en une partie imf et l'autre de kerf ?

Les bras m'en tombent. Tu arrive a montrer l'égalité <f(x),y> = <f(x),f(y)> et tu ne verrais pas comment t'en sortir pour démontrer l'étape suivante, à savoir <f(x),f(y)> = <x,f(y)> ?

non je ne vois vraiment pas, à force de tourner en rond, je ne sais meme plus faire des choses qui vous paraisse simple...

<f(x),y>              <f(x),f(y)>                <x,f(y)>
Si tu ne vois pas, c'est que tu n'as plus les yeux en face des trous. Fais autre chose, et demain matin ça te sautera aux yeux.

je vous propose un truc mais je sais pas...

j'ai montrer que <f(x), y> = <f(x), f(y)> pour tout x et y dans E

donc de la meme manière <f(y), x> = <f(y), f(x) >

et comme le produit scalaire est symétrique
<f(x), f(y)> = <f(y), f(x) >
donc du coup <f(x),y> = <x, f(y)>
et donc f est symétrique, et donc f*=f
(si c'est la bonne résolution, est-ce qu'il faut que je démontre que si f symétrique, alors f*=f ? )

(pitié, j'espère vraiment que c'est ça... sinon je vais pas dormir )