Bonjour Redman

Si a est un élément de A, que dire des applications et (les ensembles de départ et d'arrivée étant égaux à A) ?

Kaiser

bonjour Kaiser,

voici ce que je dit:

soit

est un isomorphisme de groupe de vers
car est bijective de A vers f<A>.
Démonstration :
Surjectivité évidente.
Injectivité :




d'ou bijectivité.
Morphisme car f(x+x') = a(x+x') = ax + ax'

Card A = card (f<A>)
d'ou

est donc un isomorphisme de A vers lui meme.
donc tout élément de A admet un antécédent par
donc l'équation y=ax (resp. y=xa)
admet une solution unique.

Comment déduire de cela que (A,.) est un groupe?

bah f est surjective de A vers  f<A> (ensemble des images des éléménts de A)
par définition. Non?

OK ! J'ai rien dit !
Sinon, l'injectivité suffit largement pour démontrer que cette application est bijective (car comme A est un ensemble fini, l'injectivité, la surjectivité ainsi que la bijectivité sont équivalentes)
Autrement, ce que tu as fait est correct.
En particulier, quel élément admet un antécédent par ?

Kaiser

1?

Oui et donc, qu'en déduis-tu ?

donc a est inversible a droite et a gauche....

Or on peut définir ces bijection pour tout a de A...
Donc A est un corp...

C'est bien ça !