Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs

Posté par
atessouhaits
25-03-23 à 10:47

Bonjour,
Je rencontre quelques difficultés avec une question d'un exercice et j'espérais que quelqu'un puisse me donner des indications
Soit E un K-espace vectoriel
Montrer que si f et g sont des endomorphismes de E et f est un projecteur de E alors
f o g = g o f Ker(f) et Im(f) stables par g

J'ai réussi le sens direct mais je ne sais franchement pas comment commencer pour la réciproque, si quelqu'un pouvait me mettre sur la piste ce serait super, merci !
Bonne journée à tous

Posté par
Ulmiere
re : Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs 25-03-23 à 10:55

Bonjour. N'oublie pas que f est un porjecteur de E, donc ça veut dire que Im(f) et Ker(f) sont en somme directe. Donc ça veut dire que pour connaitre totalement un endomorphisme sur E, il suffit de le connaitre sur Im(f) et sur Ker(f).


Soit y appartenant à Ker(f). On a f(y) = 0, donc g(f(y)) = g(0) = 0.
Et par ailleurs, g stabilise Ker(f) donc ...


Je te laisse faire la suite

Posté par
atessouhaits
re : Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs 25-03-23 à 11:42

Merci pour la réponse ! J'ai essayé quelque chose mais je ne suis vraiment pas sûre donc dites moi si je dis n'importe quoi

Soit y dans Ker(f) donc f(y)=0 donc g(f(y))=g(0)=0
Or Ker(f) est stable par g donc y Ker(f), g(y) Ker(f) aussi donc f(g(y))=0
On a donc f(g(y)) = g(f(y))

Soit x Im(f) alors y E tel que f(y) = x
or Im(f) est stable par g donc x Im(f), z E tel que f(z) = g(x) donc g(f(y)) = f(z) donc on a g(f(y)) Im(f)
je repars de f(y) = x pour dire que g(f(y)) = g(x) et f(g(f(y))) = f(g(x)) (à partir de là j'ai un gros doute sur ce que je fais)
or on vient de dire que  g(f(y)) Im(f) donc f(g(f(y))) = g(f(y))
On a donc (à partir de l'expression en gras) f(g(x)) = g(f(y))

Or f est un projecteur donc f o f = f donc à partir de f(y) = x on peut dire que f(x) = f(f(y)) = f(y) et donc que g(f(x)) = g(f(y))

On a donc g(f(x)) = f(g(x))

Ca doit pas être très clair, je suis désolée

Posté par
GBZM
re : Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs 25-03-23 à 13:40

Bonjour,
Oui, c'est passablement embrouillé.
Puisque f est un projecteur, tout élément x\in E se décompose de manière unique en x=y+z avec y\in \mathrm{im}(f) et z\in \ker(f), et f(x)=f(y+z)=y.
On a alors g(f(x))=g(y). Je te laisse calculer f(g(x))=f(g(y+z)), sous l'hypothèse que \mathrm{im}(f) et \ker(f) sont stables par g.

Posté par
Ulmiere
re : Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs 25-03-23 à 14:35

Evite les ∀ et les ∃ au milieu d'une phrase. En l'occurence, y est déjà fixé, et le y de ton ∀ y est une variable muette, contrairement à celle qui est déjà fixée. Il y a aussi des "donc" parasites.

Si je reprends ton premier paragraphe et que je le corrige pour que ce soit correct

Citation :
Soit y∈ Ker(f). f(y)=0 donc g(f(y))=g(0)=0 (parce que g est une application linéaire).
Aussi, Ker(f) est stable par g, donc g(y) ∈ Ker(f), et donc f(g(y))=0 = g(f(y)).
On a montré que fg-gf est nulle sur Ker(f).



Pour le deuxième paragraphe, c'est assez confus. Tu peux faire comme t'indique GBZM, ou bien si tu es plus à l'aise

Citation :
Soit y ∈ Im(f). Comme f est un projecteur sur Im(f), on a y = f(y), et donc g(y) = g(f(y)) (1).
Par ailleurs g stabilise Im(f), donc le même raisonnement conduit à g(y) = f(g(y)) (2).
(1) et (2) ensemble nous disent que fg-gf s'annule sur Im(f).



Enfin, tu peux tout traiter d'un coup avec ce que t'indique GBZM. C'est un spoiler alors ne regarde pas avant de l'avoir fait toi-même ! J
e le mets parce que je ne serai plus là aujourd'hui et que je ne sais pas si GBZM va revenir avant moi

Citation :
Soit x ∈ E = Ker(f) ⊕ Im(f). La somme étant directe, il existe une unique décomposition de x = k + i avec k ∈ Ker(f) et i ∈ Im(f). Le i en question s'écrit sous la forme i = f(u) avec u ∈ E.
En fait, on peut prendre u = x parce que  f(x) = f(k) + f(i) = 0 + f(f(u)) = 0 + f(u) = i.

Cette décomposition dit que g(f(x)) = g(i) et f(g(x)) = f(g(k)) + f(g(i)).
Comme g stabilise Ker(f) et Im(f), g(k) ∈ Ker(f) et il existe r ∈ E tel que g(i) = f(r).
On a alors g(f(x)) = g(i) = f(r) et f(g(x)) = 0 + f(f(r)) = f(r) = g(f(x))

Posté par
atessouhaits
re : Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs 25-03-23 à 14:47

Ah c'est bon j'ai compris, je m'étais effectivement bien compliqué la vie. Merci beaucoup !

Posté par
Ulmiere
re : Algèbre, espaces vectoriels, projecteurs 25-03-23 à 16:05



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !