Bonjours a tous,
J'ai un petit problème pour montrer qu'une fonction est injective,
et peut être surjective ...
Si vous pouviez me guider
Alors on a E un espace vectoriel des applications continues de dans
Et T qui à tout f de E associe T(f) tel que T(f)= 0x e-tf(t).dt
Mon but est de montrer que T est injectif ?
et est il surjectif ?
Je suis perdu, j'ai essayé plusieurs méthode mais sans réussite !
Merci de votre réponse.
Bonjour,
en terme de primitives, que vaut T(f) ?
Qu'en déduire sur la fonction x->T(f)[x] ?
Conclure pour la surjectivité.
Bonjour,
pour prouver l'injectivité, raisonnons par l'absurde en supposant T(f) identiquement nul, mais f non identiquement nulle.
Soit alors x tel que f(x) soit différent de 0.
Par continuité de f, il existe un intervalle [a;b] contenant x et sur lequel f, et donc g:t->e-tf(t) sont de signe constant.
Par hypothèse, d'où .
Comme g est aussi continue sur [a;b] et que cet intervalle n'est pas réduit à un point, on en déduit que g, et par suite f, valent identiquement 0 sur [a;b].
Cela est contradictoire, donc f est l'application nulle.
Bonjour
Il me semble qu'on peut le démontrer directement:
Soit f élément de Ker T,
Si T(f) est la fonction nulle, sa dérivée aussi est la fonction nulle.
f est continue, donc:
et comme ex n'est jamais nul,
Donc f est nulle, et T est injective.
Sauf erreur.
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