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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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algorithme de gauss

Posté par
loicligue
28-04-22 à 19:10

Bonjour !

je souhaiterais me refamiliariser avec les formes quadratiques et je tombe nez à nez à un problème...

je voulais appliquer l'algorithme de Gauss à la forme quadratique suivante :

q(x) = 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + x_{2}^2 +x_2x_3

Donc je m'y mets, je trouve

q(x) = (x_1+x_2+x_3)^2 - x_{1}^2 - x_{3}^2 - x_2x_3
 \\ 
 \\ q(x) = (x_1+x_2+x_3)^2 - (\frac{1}{2}x_2 +x_3)^2 + \frac{1}{4}x_{2}^2 - x_{1}^2

Mais j'obtiens donc 4 formes linéaires (par ex : l_1(x_1, x_2,x_3) = x_1+x_2+x_3 ) alors que ma forme quadratique est dans R^3... n'y a - t il pas un problème ou bien mes anciens cours me font défaut ?

Bonne soirée à vous!

Posté par
carpediem
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 19:34

salut

il y a bien un pb ...

en prenant trois lettres distinctes pour s'éviter des indices :

q(u) = 2xy + 2xz + y^2 + yz = (y + x + \dfrac 1 2 z)^2 + ...

à toi de déterminer le reste et de terminer ...

Posté par
loicligue
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 19:50

Ah oui d'accord les x,y,z économisent du temps, j'y avais pas pensé en tapant !

Merci ça se termine vite !

Posté par
carpediem
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 20:21

de rien

un peu plus dur : et s'il n'y avait pas de carré  q(u) = 2xy + 2xz + yz 
 \\  ?

qu'obtient-on ?

Posté par
loicligue
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 21:27

carpediem @ 28-04-2022 à 20:21

de rien

un peu plus dur : et s'il n'y avait pas de carré  q(u) = 2xy + 2xz + yz 
 \\  ?

qu'obtient-on ?



On sait que :

ab =\frac{1}{4} ((a+b)^2 - (a-b)^2)

Donc,

q(u) = 2x(y+z) + yz
 \\ q(u) = \frac{1}{4} ((x+y+z)^2 - (x-y-z)^2 + (y+z)^2 - (y-z)^2)

de nouveau le même soucis !

Y a quand même quelque chose que je ne comprends pas du coup...

Posté par
lafol Moderateur
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 21:49

bonjour
pour savoir quoi mettre dans le produit, tu peux chercher les dérivées partielles par rapport aux deux variables que tu privilégies pour commencer : elles te donneront les facteurs du produit
le but, c'est qu'une fois ton identité remarquable utilisée, deux des variables soient entièrement utilisées, et qu'il ne reste que les n-2 autres

par exemple ici si on privilégie y et z, on va calculer (2x+y)(2x+z) = 4x²+2xz+2yz+yz, et là on se rend compte que c'est quasi gagné sans rien faire de plus : q(u) = (2x+y)(2x+z) - 4x²

tu appliques ton identité remarquable au produit pour le transformer en deux carrés et c'est terminé

Posté par
loicligue
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 21:59

lafol @ 28-04-2022 à 21:49

bonjour
pour savoir quoi mettre dans le produit, tu peux chercher les dérivées partielles par rapport aux deux variables que tu privilégies pour commencer : elles te donneront les facteurs du produit
le but, c'est qu'une fois ton identité remarquable utilisée, deux des variables soient entièrement utilisées, et qu'il ne reste que les n-2 autres

par exemple ici si on privilégie y et z, on va calculer (2x+y)(2x+z) = 4x²+2xz+2yz+yz, et là on se rend compte que c'est quasi gagné sans rien faire de plus : q(u) = (2x+y)(2x+z) - 4x²

tu appliques ton identité remarquable au produit pour le transformer en deux carrés et c'est terminé


Wow ! J'ai essayé sur un autre exemple dans R^4 et ça fonctionne encore avec l'astuce des dérivées partielles !

Mais pourquoi ça fonctionne, qu'y a t-il derrière ?

Posté par
lafol Moderateur
re : algorithme de gauss 28-04-22 à 22:05

c'est un moyen rapide de trouver le coefficient d'une variable, quand la fonction est linéaire par rapport à cette variable (la dérivée de ax+b étant a )



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