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Analogue du théoréme de Césaro

Posté par
henri IV 20-10-07 à 17:03

Bonjour à tous voici un petit exercice qui me semble être un analogue de la demonstration du théoréme de Césaro, mais face auquel j' ai peu d'idée...
u et v sont 2 suites scalaires convergentes de limite u* et v*. Il me faut montrer que la suite
wn=\frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n C_n^k u_k v_{n-k} converge et il faut donner sa limite...Je suppose que c'est 0 mais comment le démontrer...
Merci pour votre aide.

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 18:56

Salut,

(w_n) ne converge pas forcément vers 0: prend u_n=v_n=1. Ca tend vers 1.

Posté par
lolo217re : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 18:59

ca sent plutôt le  uv  comme limite

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:00

Ouais, c'est ce à quoi je pensais. Je serai partant pour une majoration suivie d'une minoration (on peut puisque les suites sont bornées) mais après je vois plus trop...
T'as une idée sinon?

Posté par
lolo217re : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:07

on dirait que les termes prépondérant sont au milieu de la somme ....ben je vais manger

Posté par
Ksilverre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:09

Salut !


Bon, on peut écrire que Un=tn+l ou l est la limite de u et tn une suite qui tend vers 0.

on a donc deux choses à montrer :
si Un est constante et égal a 1 alors Wn->v.
si s Un->0 alors Wn ->0.
et on obtiens le résultat géneral voulue

et la c'est effectivement deux résultats trés semblable à Césaro. (découpage de somme de deux, mais ce n'est malheuresement ni une conséquence de césaro, ni meme des somation de relation de comparaison...)

(les deux résultats que j'ai énoncé sont en revanche assez facilement équivalent : quand tu aurra prouvé l'un des deux, utilise le pour prouver l'autre...)

Posté par
henri IVre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:12

En fait j'ai essayé de reprendre la démonstration bien connue de Césaro mais à un moment ça bloque car je voudrais dire que \frac{1}{2^n} |\sum_{k=0}^p C_n^k u_k| (avec p entier naurel fixé) tend vers 0 quand n tend vers l'infini...mais ça je ne sais ni si c'est vrai ni comment le démontrer...

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:14

Je suis pas sur que ça soit vrai...

Posté par
Ksilverre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:16

oui c'est juste : débarrase toi des uk (qui sont majoré par une cst m sur {0..p}. et tu as une suite "explicite".et la somme de k=1 a p des (k parmis n) est un polynome en n (de degré p) donc il y a aucun probleme.

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:17

Oups, j'avais pas vu le "p fixé". Autant pour moi.

Posté par
henri IVre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:25

Salut Ksilver je ne comprend pas trop pourquoi j'ai un polynôme en n de degré p...
Aprés majoration j'obtient:

\frac{1}{2^n} |\sum_{k=0}^p C_n^k u_k| <(ou égal...) \frac{M}{2^n}|\sum_{k=0}^p C_n^k|

et je suis toujours embétté par les coeffiients binomiaux...

Posté par
Ksilverre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 19:54

ba (k parmi n)= n(n-1)..(n-k+1)/k! est un polynome en n de degré k.

Posté par
henri IVre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 20:33

Et bien oui mais quand je fait tendre n vers l'infini je ne trouve pas 0 comme limite...où est le probléme?...

Posté par
Ksilverre : Analogue du théoréme de Césaro 20-10-07 à 22:20

quand tu fais tendre n vers l'infinit dans la somme de k=0 a p des (k parmi n)/2^n, tu trouve 0, je te l'ai dit :
c'est un polynome divisé par une exponentielle, ca tend vers 0

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analogue du théorème de Césaro. 21-10-07 à 02:27

Bonsoir ;

Mettons cet exercice dans un cadre un peu plus général :

Théorème :

Soit E un evn .
Si (u)_n\in E^{\mathbb{N}} converge vers 0_E alors la suite \fbox{U_n=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u_k} converge vers 0_E .



Preuve :

Etant donné un réel \varepsilon>0 la convergence de (u_n) vers 0_E donne l'existence d'un rang p\in\mathbb{N}^* tel que l'inégalité ||u_n||\le\frac{\varepsilon}{2}
soit vérifiée pour tout n\ge p et on peut alors écrire :

\fbox{(\forall n\ge p)\\||U_n||=||\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{p-1}C_{n}^{k}u_k+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=p}^{n}C_{n}^{k}u_k||\le\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{p-1}C_{n}^{k}||u_k||+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=p}^{n}C_{n}^{k}||u_k||\le(\frac{M}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{p-1}C_{n}^{k})+\frac{\varepsilon}{2}} où \fbox{M=\sup_{n\in\mathbb{N}}||u_n||}

En remarquant que \fbox{C_{n}^{k}=\frac{n}{k}\times\frac{n-1}{k-1}\times\frac{n-2}{k-2}\times...\times\frac{n-(k-1)}{k-(k-1)}} et que \fbox{\frac{n}{k}\le\frac{n-1}{k-1}\le\frac{n-2}{k-2}\le...\le\frac{n-(k-1)}{k-(k-1)}}
il vient \fbox{C_{n}^{k}\le(n-k+1)^k} ce qui donne

\fbox{(\forall n\ge p)\\||U_n||\le(\frac{M}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{p-1}(n-k+1)^k)+\frac{\varepsilon}{2}\le(\frac{M}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{p-1}(n+1)^k)+\frac{\varepsilon}{2}\le\frac{M(n+1)^p}{2^n}+\frac{\varepsilon}{2}} et comme \fbox{\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)^p}{2^n}=0}
on a l'existence d'un rang q\ge p tel que \frac{M(n+1)^p}{2^n}\le\frac{\varepsilon}{2} pour tout n\ge q


Corollaire :

Soit E une algèbre normée .

Si (u_n) , (v_n) \in E^{\mathbb{N} convergent respectivement vers u et v alors la suite \fbox{w_n=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u_kv_{n-k}} converge vers uv .


Preuve :

\fbox{w_n-uv=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(u_kv_{n-k}-uv)=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(u_k-u)v_{n-k}+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u(v_k-v)} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 06:32

Bien vu elhor, joli tout ça.

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 06:46

Euh dis, quand tu auras un temps, tu peux faire un tour ici: Une valeur d'adhérence..

Merci encore.

Posté par
henri IVre : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 08:32

Et oui c'est tout à fait ça... Merci elhor.
Ensuite j'aimerais bien étendre ce résultats au cas de deux suites à valeurs dans un R espace vectoriel euclidien (E,<|>) avec wn définie par: wn=\frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n C_n^k <u_k| v_{n-k}>

Il me semble que c'est la même démonstration mais cela me semble étonnant...Qu'est ce qui peut bien changer?...

Posté par
Ksilverre : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 13:02

en effet, on peut remplacer le produit par n'importe qu'elle forme bilinéaire continu, par exemple le produit scalaire.

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 13:15

Ksilver >> Tiens puisque tu es là, tu vas peut être pouvoir m'éclaircir sur un point de ta démo.
Dans ton message de hier, 19:09:

Citation :
Bon, on peut écrire que Un=tn+l ou l est la limite de u et tn une suite qui tend vers 0.

on a donc deux choses à montrer :
si Un est constante et égal a 1 alors Wn->v.
si s Un->0 alors Wn ->0.


Ok pour la première partie. Mais je comprends pas en quoi ces deux choses suffisent à prouver le résultat. Et si (un) n'est ni constante, ni convergente vers 0?

Désolé pour mes questions bêtes, mais là, je vois pas.

Posté par
Ksilverre : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 13:20

par linéarité, exactement comme le fait elhor.


une fois qu'on a prouvé c'est deux points :

on remplace un*v(n-k) par u'n*v'(n-k) + V*u'n+U*v'(n-k) +U*V

ou u'n et v'n tendent vers 0.

la somme du premier terme ce calcule avec le second résultat, les deux du milieux avec le premier et le troisieme par un calcule directe.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analogue du théorème de Césaro. 21-10-07 à 15:55

Bonjour henri IV ;

Si je ne me trompe , il me semble que l'on a encore la généralisation suivante :

Théorème :

Soit E et F deux evn et f{:}E\times E\to F une application bilinéaire continue .

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites d'éléments de E convergentes respectivement vers u et v
alors la suite \fbox{w_n=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f(u_k,v_{n-k})} converge vers f(u,v) .


Preuve :

\fbox{w_n-f(u,v)=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(f(u_k,v_{n-k})-f(u,v))=\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f(u_k-u,v_{n-k})+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f(u,v_k-v)} d'où

\fbox{||w_n-f(u,v)||\le M|||f|||(\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}||u_k-u||+\frac{1}{2^n}\Bigsum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}||v_k-v||)} où \fbox{M=max(||u||,\sup_n||v_n||)} (sauf erreur)

Posté par
henri IVre : Analogue du théoréme de Césaro 21-10-07 à 17:21

Ok merci beaucoup à tous c'était un exercice trés intéressant!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Analogue du théorème de Césaro. 21-10-07 à 19:46

De rien henri IV

1 Schumi 1 >> Comme je l'ai mentionné c'est encore un problème ouvert et je suis toujours entrain de chercher

Posté par
1 Schumi 1re : Analogue du théoréme de Césaro 22-10-07 à 14:42

Ok, autant pour moi. Je croyais que tu avais la réponse pour l'adhérence de 0.


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