Salut

Je prends f(x)=x³+x et g(x)=-x

fog(x)=gof(x) puisque f est impaire.

Maintenant on a et pourtant n'est un point fixe pour aucune des deux.

Salut

Ce ne sont pas des fonctions de [0,1] dans lui même.

Pas faux...

Bon enfin l'idée est là, faut chercher deux polynômes (de [0,1] dans lui même) qui commutent, il y a de fortes chance qu'on trouve un point qui fixe f-g mais qui ne fixe ni f ni g.

Salut.

Bien vu. Mais je n'arrive pas à ramener le même genre de contre exemple à des fonctions de [0,1] dans lui-même... Tu as trouvé quelque chose qui fonctionne sur cet intervalle Jord ?

jsais pas, par identification on doit s'en sortir.

Tu te fixes un polynôme et tu essayes d'en trouver un autre qui commute avec lui par identification. Pour se ramener dans [0,1] tu peux mettre un coef multiplication histoire de dilater.

Re

ba niveau parité on est mort vu que l'on est sur [0,1]. Donc je n'en ai pas trouvé pour le moment.

Bonjour à tous,  

Dites-moi si je me trompe, mais si  f  et  g  sont deux applications continues de [0,1] dans [0,1], alors il existe toujours au moins un élément  a  de [0,1] tel que  f(a) = g(a).
L'hypothèse  f o g = g o f  ne sert à rien ici ?  

Non pas du tout car rien ne dit que tes fonctions sont surjectives.

Prend par exemple f constante égale à 0,5 et g constante égale à 0,1.

Oui, c'est exact. J'avais compris  f([0,1]) = g([0,1]) = [0,1]  

Bonjour à tous

Je crois avoir passé énormément de temps avec elhor sur ce truc et on n'y est pas arrivés. Vous êtes plus doués que moi pour les recherches sur le site... essayez!

Bonjour Camélia, je pense que tu fais référence au topic suivant : Point fixe commun.

Je regarde ça.

Bonjour Pierre, c'est bien lui! Comme tu vois on est restés en plan!

Oui après lecture, je vois ça...

Le professeur avec qui j'ai eu ma khôlle, et qui m'a proposé cette réflexion, n'est également pas parvenu à montrer ou infirmer le résultat.

Eh oui, de temps en temps on tombe sur un problème qui a l'air inoffensif et qui est quand même ouvert! Il l'est probablement, à l'époque elhor avait fait des recherches web... Mais le plus étonnant est de voir à quel point c'est difficile de fabriquer des exemples de telles fonctions.

Par l'absude  Avec l'hypothèse de continuité
On peut supposer que g(x)-f(x) garde un signe constant et est non nul sinon il existe x tel que f(x)=g(x), ceci est évident.
c'est à partir de là que l'on utilise l'hypothèse gof=fog sur [0;1], Supposons que quel que soit x g(x)>f(x) cela n'entâche pas la généralisation.
On sait (à démontrer tout de même) qu'il existe  x tel que f(x)=x
Soit x0 tel que f(x0)=x0.
On considère la suite xn=g(xn-1) ce sont des indices, on démontre avec les hypothèses que la suite (xn) est croissante donc convergente car bornée par 1
Démarrage de la preuve
f(x0)=x0, gof(x0)=g(x0)= fog(x0) donc x1 = g(x0) est un point fixe de f, or g(x0)>f(x0) ainsi x1>x0 , je vous laisse poursuivre par un rais. par récurrence.
Ainsi la limite L de cette suite vérifie f(L)=L=g(L).
On arrive à une contradiction donc l'hypothèse g(x)-f(x) reste strictement positve est fausse et donc Il existe x telque f(x)=g(x)=x
Remarque l'hypothèse de continuité est essentiel voici un contre -exemple simple
f(x)=x² sur [0,1) et g(x)=racine(x)sur ]0,1[ et g(0)=1 et g(1)=0

Salut

"On arrive à une contradiction donc l'hypothèse g(x)-f(x) reste strictement positve est fausse et donc Il existe x telque f(x)=g(x)=x" >> Ok pour la contradiction, mais pas pour ta conclusion! Le resultat qu'on obtient c'est l'existence de x tel que f(x)=g(x) mais pas forcément égal à x.

Excuse-moi  1 Schumi 1, mais il me semble que la suite (x_n) construite par DOMOREA vérifie, pour tout  n1,
        f(u_n) = u_n = g(u_n-1)

A la limite, dont l'existence ne fait aucun doute, on en déduit, grâce à la continuité de  g , que
        f(L) = L = g(L)  

Bonjour

Quelque chose me gêne. L'hypothèse de départ de DOMOREA est que g-f garde un signe constant. Il me semble, comme à Ayoub, que nier cette hypothèse ne prouve en rien l'existence d'un x tel que f(x)=g(x)=x.

D'autre part, la suite proposée par DOMOREA vérifie ce que l'on veut, mais est construite en utilisant ladite hypothèse. Donc, je reste sceptique!

Bonsoir Camélia,

le but est de prouver l'existence d'un réel    tel que  f() = g().
Si  g - f  n'est pas de signe constant, d'après l'hypothèse de continuité, il existe un réel    tel que  (g - f)() = 0  et donc tel que  f() = g() .
DOMOREA nous propose alors d'étudier le cas où  f - g  n'est pas de signe constant. Sa suite me semble bien répondre à nos préoccupations ; disons que je ne vois pas de faille mais je dois reconnaître que je ne les vois pas toutes.  

Certes mais domorea prétend prouver que le réel qu'il trouve vérifie de surcroit f(x)=g(x)=x. Cette dernière égalité n'est pas prouvé, c'est là que ça plante. Il prouver seulement que f(x)=g(x).

1 Schumi 1, dis-moi où je me trompe :

La construction de DOMOREd'une suite  (x_n)  telle que :
    *  n^* ,  x_n[0,1]
    *  n^* ,  x_n = g(x_n-1)  et  x_n = f(x_n)
    *  f  et  g  continues sur  [0,1]
Alors, d'après le théorème du point fixe, on peut en déduire que si les suites  (f(x_n))  et  (g(x_n))  ont une limite, cette limite  L  vérifie :
    g(L) = f(L)
Comme de plus, pour tout  n , on a  x_n = f(x_n), on en déduit que  L = f(L)

Par ailleurs, l'existence de cette limite provient de la croissance de  (x_n)  car  x_n+1 = g(x_n) > f(x_n) = x_n  et elle est majorée par 1.

J'ai pris plusieurs exemples de fonctions f et g vérifiant ces hyothèses et les représentations graphiques ont bien confirmé la démonstration.

Ok, je fais amende honorable   . J'ai vu la faille, enfin je crois.

Tout le raisonnement tenu par DOMOREA est correct ... jusqu'à un certain point; en amont, il y a une proposition : il existe un réel    tel que  f() = g() .

Si cette proposition est vraie, on ne peut rien en déduire de plus. Supposons alors qu'elle soit fausse ... et on arrive à une contradiction ; mais à ce point du raisonnement, on sort de la construction pour revenir à la première proposition, celle posée en amont : il existe un réel    tel que  f() = g() .

On ne peut évidemment pas en déduire que   = f() = g() .

Cette fois-ci, est-ce que je suis dans le vrai ?

Je refais monter au cas où quelqu'un aurait une idée.