l'application constante z 1 ne serait-elle pas dans F ?

J'y est pensé au debut mais j'ai remarqué qu'elle n'est pas nulle à l'origine!! merci qu'a même

Soit F = { f H(D) | f(0) = 0 et |f(z)| < 2 pour tout z D }
On pose m = Sup { |f(1/2)| / f F } (pourquoi un max dans ton énoncé ?)
1.Soit f H. Si on pose g = f/2 , d'après le lemme de schwarz , on a |g(z)| < |z| pour tout z de D et en particulier |g(1/2)| < |1/2| donc |f(1/2)| < 1 .
Il en résulte que m 1.
2.Supposons m > 1 . Il exite donc h F tq  1 < |h(1/2)| ;  or d'après la partie 1. on a |h(1/2)| < 1 et donc 1 < 1 .C'est  contradictoire.
On a donc m = 1.
Remarque : Si on pose F₁ = { f F | f( '0) = 0 } et m₁ = Sup { |f(1/2)| / f F₁ } le raisonnement précédent me semble encore valable de sorte que m₁ = 1  !!

L'énoncé était-il bien celui que tu as écrit ?

Rebonjour
oui dans mon énoncé c'est bien un max!(je pense cela veut dire qu'il existe une fonction f de H qui atteint ce max!!?.)...
Par contre j'ai du mal a comprendre quelques trucs :
- Dans le lemme de schwarz les inégalités sont strict?
- Si pour tout alors !!? non?

Oublie mon dernier message . Je n'avais pas ,ce matin , les idées à l'endroit !!
Biens sûr, la conclusion du 1. est m 1.
Donc reste à trouver une f de F tq |f(1/2)| = m

Soit t réel de ]0 , 1[ . La série formelle _n>0 (tⁿ⁺¹/n)Xⁿ⁺¹ a un rayon R = 1/t . On pose alors , pour z D , f(z) = 2c._n>0 (tⁿ⁺¹/n)zⁿ⁺³ (où c = -ln(1 - t).
Si z D on a donc : |f(z)| < 2c._n>0 tⁿ⁺¹/n = 2  .
P