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Niveau Master
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Analyse complexe

Posté par
sambgoree
11-04-10 à 18:04

Bonjour j'aimerais avoir votre idée(aide) dans les 2 questions suivantes svp merci.

Q1)Soit K=\{(2+sin\theta)e^{i\theta} : 0 \le \theta \le 2\pi \}, g(z)=1/z
Existe-t--il un pôlynome P tel que max_K|g-P|<1/100?

Q2)Trouver toutes les fonctions entieres h telles que
(h')^2=e^h+2.

Posté par
frenicle
re : Analyse complexe 11-04-10 à 21:30

Bonsoir,

Pour la 1, vu que K est compact et ne passe pas par 0, ça semble être une application directe de Stone Weierstrass, non ?

Sauf erreur, évidemment.

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe 11-04-10 à 22:45

Bonsoir.

Que se passe-t-il en intégrant g- P le long de K ? Pense par exemple à la formule de Cauchy.

frenicle> La sous-algèbre des fonctions polynomiales n'est pas conjuguée, donc le théorème de Stone-Weierstrass (cas complexe) n'est pas applicable.

Posté par
frenicle
re : Analyse complexe 12-04-10 à 12:05

Bonjour Arkhnor,

En effet, tu as raison.
Heureusement, d'ailleurs, si je comprends bien ton indication

Posté par
sambgoree
re : Analyse complexe 13-04-10 à 17:12

Si je pose f=g-P je trouve \int_Kf(z)dz=2\pi i d'aprés le théoreme des résidusà partir de là (je pense pas pouvoir conclure?!)

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe 13-04-10 à 17:28

Oui, c'est juste, et maintenant que peux-tu dire de 3$ |\int_K f(z)dz | ? (par des majorations brutales)

Posté par
sambgoree
re : Analyse complexe 13-04-10 à 19:12

2\pi=|\int_Kf(z)dz|\le \int_K|f(z)dz| \le max_K|g-P|\int_Kdz ?!

Posté par
sambgoree
re : Analyse complexe 13-04-10 à 19:28

\int_Kdz\le \int_{[0,2\pi]} |\gamma'(\theta)|d\theta

Posté par
sambgoree
re : Analyse complexe 13-04-10 à 19:35

je trouve 1/3\le max_K|g-P| cqfd ??

Posté par
Arkhnor
re : Analyse complexe 13-04-10 à 20:04

Je ne trouve pas les mêmes valeurs numériques que toi, mais l'idée est là : on trouve ainsi une contradiction, puisque \max_K \, |g-P| \le \frac{1}{100}.

Posté par
sambgoree
re : Analyse complexe 13-04-10 à 20:08

ok de toute façon merci bien pour ton aide.



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