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Niveau Licence Maths 1e ann
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Analyse complexe

Posté par
cafeadicto 17-04-10 à 20:41

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice :


On note \gamma_n le bord du carré C_n=\{x+iy : x,y\in[-n\pi ,n\pi]\}.

1. Soient a\in C\\\{0,1\} et f(z)=sin(z)-acos(z). Montrer que pour n assez grand f a exactement 2n+1 zéros notés \lambda_0=0, \lambda_j, -\lambda dans l'interieur du carré C_n.

2. Montrer que la série de foncion :
g(z)=\frac{1}{z}+\sum_1^infty
converge normalement sur totu compact

3. Si f(x)\neq 0 on définit :
F_n(x)=\frac{1}{2i\pi}\int_\gamma_n \frac{f'(x)}{f(z)(z-x)}
Montrer que F_n est paire et F_n(x) tend vers zéro avec n.

L'exercice ne se termien pas la mais des premières pistes m'aideraient bien!!

Pour la 1. j'ai pensé au théorème de Riouché mais c'est dans un disque

Merci d'avance pour votre aide!!

Posté par
Arkhnorre : Analyse complexe 18-04-10 à 08:39

Bonjour.

L'énoncé n'est pas très bien passé, notamment la question 2).
Et que signifie ce \left{0,1\right} sous a \in C.

Sinon, le théorème de Rouché me semble être la bonne méthode, il est applicable à n'importe quel contour.

Posté par
cafeadictore : Analyse complexe 18-04-10 à 10:11

Bonjour,

Merci déjà pour cette réponse!

En effet, l'énnoncé est mal passé, mea culpa:
dans la question 1 je voulais taper : C\setminus \{0,1\} et  dans la 2 :
g(z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-\lambda_n^2}}

Posté par
Arkhnorre : Analyse complexe 18-04-10 à 10:18

En fait, qui est C, et où intervient a dans la suite du problème ?

Pour les zéros de f, c'est \lambda_n et \lambda_{-n} ? (le signe moins semble être mal passé)

Posté par
kybjmre : Analyse complexe 18-04-10 à 10:19

Si tu voulais bien écrire ton enoncé de façon compréhensible on pourrait peut-être t'aider .
Outre ce {0,1} ,
.est-ce bien f(z) = sin(z) - 1/cos(z) ?
. Qu'est ce  nfty dans ton g(z) ?

Posté par
Arkhnorre : Analyse complexe 18-04-10 à 10:25

De plus, \lambda_0 = 0 n'est pas un zéro de f, donc je doute qu'on ait la bonne expression de f ...

Posté par
cafeadictore : Analyse complexe 18-04-10 à 11:47

En effet ce que j'ai écrit n'est pas très compréhensible, la bonne expression de f est : f(z)=sin(z)-azcos(z).

Pour laquestion 2 je n'arrive pas a voir avec quelles fonctions appliquer le théorème de rouché..

Encore désolé pour les erreures de frappe.

Posté par
Arkhnorre : Analyse complexe 18-04-10 à 16:18

Ah, maintenant c'est clair. C \setminus \left{0,1\right} désigne \mathbb{C} \setminus \left{0,1\right} ?
Essaye de comparer l'équation f(z) = 0 à l'équation az \cos z = 0.

Pour la question 2), si K est un compact qui ne rencontre pas les zéros de f, il existe R>0 tel que K soit inclus dans le disque fermé de centre 0 et de rayon R.
Montre que l'on a |z^2 - \lambda_n^2| \ge |\lambda_n| - R pour |n| assez grand.
Conclus.

Posté par
cafeadictore : Analyse complexe 18-04-10 à 19:49

Merci beaucoup!!

Posté par
Arkhnorre : Analyse complexe 18-04-10 à 20:45

De rien. A bientôt !

Posté par
cafeadictore : Analyse complexe 19-04-10 à 18:53

J'ai maitenant bien compris le début de mon exercice et j'abuse de votre gentillesse en postant la suite :

Dans la question 3) postée plus haut encore une faute de frappe : il faut montre que F_n est impaire et la calculer pour n assez grand.

4) Montrer que \prod}_{k\geq 1}\big(1-\frac{z^2}{\lambda_n^2}\big) converge normalement sur tout compact et f(z)=(1-a)z\underset{\prod}{k\geq 1}\big(1-\frac{z^2}{\lambda_n^2}\big)

Pour la trois aucune idée et pour la 4) j'essaie sans succes de montrer la convergence normale de la série de terme général \frac{z^2}{\lambda_n^2}\big).

Merci encore pour l'aide!

Posté par
cafeadictore : Analyse complexe 19-04-10 à 18:56

Désolé encore des fautes de frappe, je réécrit mieux la question 4)

4) Montrer que \prod_{k\geq 1}\big(1-\frac{z^2}{\lambda_n^2}\big) converge normalement sur tout compact et f(z)=(1-a)z\prod_{k\geq 1}\big(1-\frac{z^2}{\lambda_n^2}\big)

Pour la trois aucune idée et pour la 4) j'essaie sans succes de montrer la convergence normale de la série de terme général \frac{z^2}{\lambda_n^2}.


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