Bonjour Saiga.
Une fonction entière est par définition une holomorphe sur tout entier.
Si tu écris pour (donc une série de Laurent centrée en 0), tu vois que si tu prends un polynôme de degré p alors .

Alors tu peux calculer le résidu de g en prenant tous les et . Tu dois trouver qu'il est non nul !

Une fonction entière est , avant tout , une application ( continue )   de   vers .

Si P est un polynôme non nul et s'il existe une  application  continue f :      telle que f(z) = P(z)exp(1/z)  pour z 0 ,  alors  P(z)exp(1/z)   converge (dans ) quand z 0 .  Comme  P(z) az^p   (où a 0 et p )   z^pexp(1/z)   .  ,  quand z 0 .
En particulier  t^pexp(1/t) converge dans   quand t 0 ⁺ et donc  exp(s)/s^p  converge dans quand s +.
Tu dois savoir montrer que  exp(s)/s^p  converge , mais vers +  , ce qui te fournit une contradiction .

En fait, il y a encore plus simple :
Si est holomorphe sur (après prolongement par continuité, bien entendu), alors elle est bornée sur (car continue) puis elle bornée sur (à cause du comportement de l'exponentielle !).
Donc elle est constante par le théorème de Liouville. Contradiction.

La continuité suffit largement .

Qui peut le plus peut le moins ... les deux sont largement valables. _{la Liouville ayant le mérite de l'élégance.}

Bonsoir,

Citation :
puis elle bornée sur (à cause du comportement de l'exponentielle !).

Moi aussi...comme à peu près tout ce que j'ai dit aujourd'hui