Niveau Licence Maths 1e ann

Analyse complexe

Posté par
SROUMYE 14-01-17 à 18:17

Salut à tous. Je désire avoir votre aide sur cet exercice.

soit $t\in \mathbb{R}$ . on envisage de calculer $\int_{-\infty}^{+\infty}{(\frac{\sin x}{x})^2 e^{itx}dx$

1) Montrer que la fonction $(\frac{\sin x}{x})^2 e^{itx}$ est intégrable dans $]-\infty,+\infty[$ .

  En déduire que $I_t= \lim_{A\to +\infty}{\int_{-A}^{A}{(\frac{\sin x}{x})^2 e^{itx} dx$ .

2) i) Montrer que la fonction $f(z)=(\frac{\sin z}{z})^2 e^{itz}$ se prolonge en une fonction entière (0 est une singularité artificielle de f).

   ii) On désigne par $\Gamma_A$ le chemin obtenu en adjoignant les segments [-A,-1] et [1,A] le demi-cercle allant de -1 à -i, puis à 1.
Montrer que $\int_{-A}^{A}{f(x)dx}=\int_{\Gamma_A}{f(z)dz}$ .

   iii) On pose $\varphi_A (t)=\int_{\Gamma_A}{\frac{e^{itz}}{z^2}dz$ . Montrer que

$\int_{-A}^{A}{f(x)dx}=-\frac{1}{4}\left[\varphi_A (t+2) + \varphi_A (t-2)-\varphi_A (t)\right]$

3)
i) On suppose que $t\ge 0$ (resp. $s\prec 0$ et on complète le chemin $\Gamma_A$ en un chemin de Jorgan $\gamma_A$ en adjoignant le demi-cercle allant de A à Ai (rresp. à -Ai). puis à -A. Montrer que $\varphi_A(t)=-2\pi t$ (resp. $\varphi_A(t)=0$ ).

ii) En déduire la valeur de $I_t$ . on distinguera successivement les cas $t\prec -2. -2\le t\prec 0$ .   $0\le t\prec 2$   et     $t\ge 2$ .

4) Verifier que $\int_{-\infty}^{+\infty}{(\frac{\sin x}{x})^2dx}=\pi$ .

Posté par re : Analyse complexe 14-01-17 à 23:19

Bonsoir SROUMYE.
C'est gentil de nous proposer des exercices à faire ... ça nous fait de l'entrainement !
Qu'as-tu fait ? Où coinces-tu _{(dès la 1ère question, j'imagine, le prof d'analyse complexe a trop filé lui aussi ? )} ? Enfin bref, quel est le soucis, mon grand ?

Posté par re : Analyse complexe 15-01-17 à 00:54

jsvdb @ 14-01-2017 à 23:19

Bonsoir SROUMYE.
C'est gentil de nous proposer des exercices à faire ... ça nous fait de l'entrainement !
Qu'as-tu fait ? Où coinces-tu _{(dès la 1ère question, j'imagine, le prof d'analyse complexe a trop filé lui aussi ? )} ? Enfin bref, quel est le soucis, mon grand ?

Voici ce que j'ai fait Corrigez moi si j'ai fait une faute.
1) pour montrer que la convergence de f.  je sais que
$\star  \mid\sin x\mid \le1, \forall x\in \mathbb{R}$ , $\mid e^{itx}\mid=1$
$\star \forall x \in ]-1,1[, \mid \sin x\mid\le\mid x\mid$
d'où
$\int_{-\infty}^{+\infty}{\mid (\frac{\sin x}{x})^2e^{itx}\mid dx}\le \int_{-\infty}^{-1}{\mid (\frac{1}{x})^2\mid dx}+\int_{1}^{+\infty}{\mid (\frac{1}{x})^2\mid dx} +\int_{-1}^{1}{\mid (\frac{x}{x})^2\mid dx}$
                                                       $= \int_{1}^{+\infty}{\frac{1}{x^2}dx} +\int_{-1}^{1}{1dx}\lt +\infty$
d'où cette fonction est intégrable sur $]-\infty, +\infty[$ .

Mon problème se situe ici.
2) peut-on  utiliser le développement  pour montrer que 0 est une singularité artificielle?
ou bien on peut considerer la fonction :

$g(z) =\begin{cases} \\ & f(z)\text{ si } z\in \mathbb{C}^{\star}  \\ \\ & 1\text{ sinon } \\ \end{cases} ? \\$

ii) ici je n'arrive pas à démontrer. puisque on a pas un chemin fermé, est ce qu'on peut dire que $\int_{-A}^{A}{f(x)}-\int_{\Gamma_A}{f(z)dz}=0$ ? le théorème de cauchy n'est pas applicable je ne sais quel théorème utiliser.
Je n'ai pas d'autre problème en dehors de ça.
Merci.

Posté par re : Analyse complexe 15-01-17 à 02:27

1)
Autre façon de présenter les choses :

$\forall x \in \R^*, |\sin(x)| \leq |x|$ . Donc $\left(\dfrac{\sin (x)}{x}\right)^2 |e^{itx}| \leq \max \{1,\dfrac{1}{x^2}\}=g(x)$ et le second membre de l'inégalité est intégrable sur $\R^*$

On en déduit que pour $A > 0 : |{\int_{-A}^{A}{(\frac{\sin x}{x})^2 e^{itx} dx| \leq \int_{-A}^{A}g(x) dx \leq \int_{-\infty}^{\infty}g(x) dx < \infty$ et on peut alors passer à la limite dans le membre de gauche de l'inégalité.

2)
Normalement, on sait que $\sin(z) = \sum_{k=0}^{\infty}{\dfrac{z^{3k+1}}{(3k+1)!}}$ , et par suite, $\sum_{k=0}^{\infty}{\dfrac{z^{3k}}{(3k+1)!}} =\dfrac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}{\dfrac{z^{3k+1}}{(3k+1)!}} = \dfrac{\sin(z)}{z}$ est bien analytique sur $\C$ .

Donc $f:z\in \C \mapsto e^{itz}\left(\dfrac{\sin(z)}{z}\right)^2$ est analytique sur $\C$ en tant que composition et produit de fonction analytique et évidemment, sa restriction à $\R$ est la fonction $f_\R : x\in \R \mapsto e^{itx}\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)^2$ .
Conclusion : f est entière et est un prolongement de la précédente.

ii) Tu as évidemment $\int_{-A}^{A}{f(z)dz}=\int_{-A}^{-1}{f(z)dz} + \int_{-1}^{1}{f(z)dz}+\int_{1}^{A}{f(z)dz}$

On va s'intéresser à $\int_{-1}^{1}{f(z)dz}$ .

Tu considères le demi cercle partant de $-1+0i$ , passant par $-i$ et finissant à $1+0i$ et tu lui adjoins le segment [-1,1].

Ca te fait bien un lacet fermé $\gamma$ , et la dessus, $\int_{\gamma}^{}{f(z)dz}=0$ car f est entière.

Tu n'a plus qu'à conclure en orientant correctement ton lacet.

Posté par re : Analyse complexe 15-01-17 à 03:44

J'ai bien compris votre raisonnement.
Au niveau de la question 2) ii), je n'ai pas complété le chemin par le demi cercle inférieur de centre 0 et de rayon 1 parce que cela a été demandé à la question 3).
Merci pour votre disponibilité; vous m'avez été d'une aide importante.

Posté par re : Analyse complexe 16-01-17 à 13:17

Je t'en prie.
Alors rectif d'une petite coquille :

jsvdb @ 15-01-2017 à 02:27

$\forall x \in \R^*, |\sin(x)| \leq |x|$ . Donc $\left(\dfrac{\sin (x)}{x}\right)^2 |e^{itx}| \leq {\red \min }\{1,\dfrac{1}{x^2}\}=g(x)$ et le second membre de l'inégalité est intégrable sur $\R^*$ .

SROUMYE @ 15-01-2017 à 03:44

Au niveau de la question 2) ii), je n'ai pas complété le chemin par le demi cercle inférieur de centre 0 et de rayon 1 parce que cela a été demandé à la question 3).

Plus précisément, la question 2) iii) rajoute le demi-cercle "inférieur" de centre 0 et de rayon A>1 et du coup, on travaille sur une figure à bord fermé.
Il n'y avait donc pas lieu d'hésiter à parler dans la 2) ii) du demi-cercle inférieur de rayon 1 et de centre 0.

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