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Niveau Licence Maths 1e ann
Analyse complexe
Posté par KRZ95
Bonjour tout le monde 
J'essaye de démontrer une égalité mais je bloque un peu.. Quelqu'un pourrait m'aider svp ?
(k=1)
(k=n) (sin (k
)/n) = n/(2^(n-1))
Je viens de me rendre compte que la question a déjà été posée il y a quelques années..
Cependant je n'ai pas très bien compris le raisonnement.. J'aurai toujours besoin d'aide donc.. merci
(sin (k)/n est la partie imaginaire de ak si a = exp(i/n)
Ta somme est donc la partie imaginaire de a + a² +....+ an = (a - an+1)(1 - a) = 2a/(1 - a) puisque an = -1 .
Ca a été posé ici en 2007
https://www.ilemaths.net/sujet-nombre-complexe-et-produit-de-sin-k-pi-n-369107.html
Enfaite j'ai bien compris la fin du raisonnement mais pas comment avoir trouvé que le sin(k/n) = n(-1)^(n-1)
C'est donc un produit et pas une somme (la première version qui m'est apparue avait un truc bizarre à la place du signe opératoire ) .
Soient n un entier > 1 , a := exp(i/n) , b := a² , P := Xn - 1 .
On a P = (X - b)(X - b²)....(X - bn) . On posera Pk = P/(X - bk) ( k = 1,2,...,n) et on utilisera le fait que nXn-1 = P ' = P1 + P2 + .... + Pn
2i.sin(/n) = a - 1/a = (a² - 1)/a donc -2ia.sin(/n) = 1 - b
....
2i.sin(k/n) = ak - 1/ak donc -2iak.sin(/n) = 1 - bk
....
2i.sin((n-1)/n) = an-1 - 1/an-1 donc -2ian-1.sin(/n) = 1 - b[sup]n-1[/sup]
En faisant le produit membre à membre de ces relations on trouve à gauche c.sin(/n).....sin((n - 1)/n) et à droite (1 - b)(1 - b²)......(1 - bn-1
qui est Pn(1) = P '(1) = n .
j'espère que c = 1/2 !
etniopal @ 17-09-2017 à 17:47
L'énoncé que tu as écrit n'est certainement pas celui qu'on t'a donné .
L'énoncé que tu as écrit n'est certainement pas celui qu'on t'a donné .
c'est le même sauf que le produit s'arrête à n-1 et non à notre je viens de me rendre compte de mon oublie
L'indice doit s'arrêter à sinon pour
tu aura un soucis et le terme
deviendra
et donc tout le membre de gauche deviendra nul.
L'énoncé doit être ceci:
Razes @ 17-09-2017 à 23:15
L'indice doit s'arrêter à)
sinon pour 
tu aura un soucis et le terme )
deviendra =\sin\left ( \pi \right )=0)
et donc tout le membre de gauche deviendra nul.
L'énoncé doit être ceci:=\dfrac{n}{2^{n-1}})
L'indice doit s'arrêter à
L'énoncé doit être ceci:
Oui c'est ce que j'ai modifié juste avant ta réponse
mais du coup je comprends pas comment on prouve que les racines de z^n sont les "n (-1)^(n-1)
KRZ95 @ 18-09-2017 à 08:50
Oui c'est ce que j'ai modifié juste avant ta réponse
mais du coup je comprends pas comment on prouve que les racines de z^n sont les "n (-1)^(n-1)
Comment as tu obtenu cela.
Oui c'est ce que j'ai modifié juste avant ta réponse
mais du coup je comprends pas comment on prouve que les racines de z^n sont les "n (-1)^(n-1)
Normalement, nous avons: