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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
analyse complexe
Posté par adeletrgy
Bonjour, j'aurais besoin de votre aide,
je dois démontrer que l'aire d'un ensemble compact K 
est donnée par
ou K est le bord de K
Je me disait que je pourrais commencer pour montrer cette formule par des triangles puis généraliser pour une union finie de triangles.
Bonjour adeletrgy.
Je pense qu'il faut se restreindre à des compact "assez réguliers", c'est-à-dire dont le bord est au moins par morceaux.
Je te suggère de commencer par des rectangles (figures dont les bords sont bien par morceaux
). C'est assez facile à manipuler et ça te permet de voir simplement et concrètement comment la formule marche.
si je commence par un rectangle, est ce que je dois paramétriser mes bords puis intégrer la partie de gauche en espérant retomber sur l'aire ?
le problème que j'ai c'est que d'après le lemme de Goursat, qui me dit que si j'ai une fonction f : U 
holomorphe
et TU un triangle fermé
Alors
Or pour moi mon rectangle il peut être diviser en plusieurs triangles et donc l'intégrale serait nulle si j'intègre sur les bords
adeletrgy @ 03-11-2018 à 16:36
si je commence par un rectangle, est ce que je dois paramétrer mes bords ?
si je commence par un rectangle, est ce que je dois paramétrer mes bords ?
Bah oui ! tu ne vas pas avoir trop le choix. C'est pour ça qu'on commence par des rectangles, c'est facile à paramétrer
effectivement elle est pas holomorphe je crois parce qu'elle ne vérifie pas les équations de Cauchy Riemann
Du coup c'est vrai que ce théorème ne me sert à rien 
donc si je démontre pour un rectangle vous me conseiller de le paramétriser?
Citation :
elle ne vérifie pas les équations de Cauchy Riemann
elle ne vérifie pas les équations de Cauchy Riemann
Tu calcules simplement
Citation :
vous me conseiller de le paramétrer ?
vous me conseiller de le paramétrer ?
Tu sais calculer autrement les intégrales curvilignes ?
Et pour une raison simple, c'est qu'il n'y en n'a pas. si tu veux faire une intégrale curviligne, il faut paramétrer ton arc épicétou.
Donc alors, concrètement, si je te donne un rectangle dont les côtés sont les points d'affixe , tu procèdes comment ?
Oh oui, tu peux simplifier.
Je te rappelle que si A et B sont deux points d'affixes respectives et
alors le segment qui les relie est l'ensemble
.
Et donc, oui, tu vas découper ton rectangle en ses 4 bords où le paramétrage sera de la forme et
.
Tu auras donc 4 intégrales simples pour t allant de 0 à 1
salut
la deuxième égalité provient de Grenn
mais bon j'ai probablement dit une con... sur ce coup ... 
on peut vraiment appliquer la formule de Green pour les cas complexe ?
ça réduirait une page de calcul en 1 ligne 
ben oui en revenant aux parties réelle et imaginaire ... sauf que la fonction n'est pas holomorphe ... donc c'est à regarder très en détail !!! en vérifiant toutes les hypothèses !
ha ha ha quand je pense que j'ai commencé un post dans ce sens et que je me suis retenu en disant : "si je peux éviter de dire une co***rie aujourd'hui, ce sera celle là" parce que justement l'opérateur de conjugaison n'est même pas différentiable.
Cela dit :
adeletrgy @ 03-11-2018 à 19:19
on peut vraiment appliquer la formule de Green pour les cas complexe ?
on peut vraiment appliquer la formule de Green pour les cas complexe ?
oui, on peut, les fonctions complexes n'étant que des applications de
Mais il faut faire attention que les formes différentielles soient continument différentiables + Equations de Cauchy-Riemann à vérifier.
Du coup, quand tu poses