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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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analyse complexe

Posté par
BobBob
20-01-20 à 19:58

Bonjour,

Je commence l'analyse complexe et j'ai un exo qui me pose quelques soucis, merci pour votre aide !

Soit D un domaine de C et f : D->C analytique. On pose f=P+iQ (respectivement partie réelle et imaginaire)

Montrer les équivalences suivantes

a) f constante \Leftrightarrow b) |f| constante  \Leftrightarrow c)\bar{f} analytique sur D  \Leftrightarrow d) P constante  \Leftrightarrow e) Qconstante


Donc je souhaite faire une boucle d'implication
a)  \Rightarrow b) me semble trivial

Ensuite j'ai montré b)   \Rightarrow  a) (car je n'arrivais pas a faire b)   \Rightarrow  c)
Supposons  |f| constante.
Par l'absurde, si f n'était pas constante alors par le theoreme de l'application ouverte f(D)=U  ou U est un ouvert de C
Or comme |f| est constante, f(D) est inclus dans un cercle (fermé de C) absurde donc f est constante.


a)   \Rightarrow  c)
La aussi ca me semble trivial mais dites moi si c'est correct svp
Supposons f constante.
Si f est nulle alors \bar{f} l'est aussi et donc \bar{f} est bien analytique
Sinon si f est non nulle alors \bar{f}=|f|² / f est aussi constante sur D, donc analytique sur D

Voila apres je bloque pour les implications  c \Rightarrow d
d\Rightarrow e
e\Rightarrow a ou b

Posté par
lionel52
re : analyse complexe 20-01-20 à 20:03

Je comprends pas le "b implique a"
Le théorème de l'application ouverte marche pour des applications linéaires

Posté par
BobBob
re : analyse complexe 20-01-20 à 20:09

de l'image ouverte pardon; pour une fonction analytique non constante definie sur un domaine D, alors f(D) est ouvert

Posté par
lionel52
re : analyse complexe 20-01-20 à 20:23

t'as pas encore fait le lien analytique holomorphe on est d'accord?

Posté par
Ulmiere
re : analyse complexe 20-01-20 à 20:45

Clarifie ton énoncé stp.
Ce que tu appelles un domaine, c'est bien un ouvert connexe de \mathbb{C} ?
C = \mathbb{C} ?

Pour b) => a). Il faut expliquer pourquoi le cercle qui contient l'image de D ne peut pas contenir d'ouvert.

a) => c) trivial car f constante équivaut à \bar{f} constante. Ainsi, si f est constante, sa conjuguée aussi, donc elle est analytique.

c) => b), d); et e) car Re(z) = \dfrac{z+\bar{z}}{2} et Im(z) = \dfrac{z-\bar{z}}{2i}.
f et \bar{f} analytiques implique que leurs combinaisons C-linéaires sont analytiques aussi.
Ce sont des fonctions analytiques à valeurs dans R, il se passe quoi à ton avis ? Plus ou moins la même justification que dans le cas a) => b) et le théorème de l'image ouverte. Tu vois bien qu'il y a un problème d' "aire" nulle
D'ailleurs même chose pour |f|^2 = f\bar{f}

Posté par
BobBob
re : analyse complexe 20-01-20 à 21:34

Oui C= corps des complexe et domaine = ouvert connexe de C

Pour b => a   en fait c'est une conséquence immédiate du principe du maximum, comme f est analytique, si on suppose |f| constant, en tout point de D (qui est ouvert donc les points de D sont interieurs a D) f admet un maximum local donc elle est constante

Maintenant si je suppose c : \bar{f} analytique alors par les equations de Cauchy Riemann  j'obtiens directement e) Q est constante

En fait je ne comprends pas tres bien ta reponse, par exemple pour
c => d
Je suis d'accord que P=(f+ \bar{f} )/2
Donc comme P est analytique sur le domaine D, P(D)=O ouvert de C or
P(D) est inclus dans le corps R qui n'est pas fermé de C
(mais pour autant inclus dans un fermé n'implique pas etre fermé..)

Posté par
Ulmiere
re : analyse complexe 20-01-20 à 23:07

Si X (partie de C) continent un ouvert Y de C, elle contient autour de chacun des points de cet ouvert un petit disque entièrement inclus dans l'ouvert Y, donc dans X. Et si X est une partie de R, ça va être difficile...

Posté par
Ulmiere
re : analyse complexe 20-01-20 à 23:07

Si tu as déjà vu les équations de Cauchy-Riemann, l'exercice est trivial. Je pense que le but est de faire sans.



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