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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
analyse complexe
Posté par BobBob
Bonjour,
Je commence l'analyse complexe et j'ai un exo qui me pose quelques soucis, merci pour votre aide ! 
Soit D un domaine de C et f : D->C analytique. On pose f=P+iQ (respectivement partie réelle et imaginaire)
Montrer les équivalences suivantes
a) f constante b) |f| constante
c)
analytique sur D
d) P constante
e) Qconstante
Donc je souhaite faire une boucle d'implication
a) b) me semble trivial
Ensuite j'ai montré b) a) (car je n'arrivais pas a faire b)
c)
Supposons |f| constante.
Par l'absurde, si f n'était pas constante alors par le theoreme de l'application ouverte f(D)=U ou U est un ouvert de C
Or comme |f| est constante, f(D) est inclus dans un cercle (fermé de C) absurde donc f est constante.
a) c)
La aussi ca me semble trivial mais dites moi si c'est correct svp
Supposons f constante.
Si f est nulle alors l'est aussi et donc
est bien analytique
Sinon si f est non nulle alors =|f|² / f est aussi constante sur D, donc analytique sur D
Voila apres je bloque pour les implications c d
d e
e a ou b
Je comprends pas le "b implique a"
Le théorème de l'application ouverte marche pour des applications linéaires
de l'image ouverte pardon; pour une fonction analytique non constante definie sur un domaine D, alors f(D) est ouvert
Clarifie ton énoncé stp.
Ce que tu appelles un domaine, c'est bien un ouvert connexe de ?
?
Pour b) => a). Il faut expliquer pourquoi le cercle qui contient l'image de D ne peut pas contenir d'ouvert.
a) => c) trivial car f constante équivaut à constante. Ainsi, si f est constante, sa conjuguée aussi, donc elle est analytique.
c) => b), d); et e) car et
.
f et analytiques implique que leurs combinaisons C-linéaires sont analytiques aussi.
Ce sont des fonctions analytiques à valeurs dans R, il se passe quoi à ton avis ? Plus ou moins la même justification que dans le cas a) => b) et le théorème de l'image ouverte. Tu vois bien qu'il y a un problème d' "aire" nulle 
D'ailleurs même chose pour
Oui C= corps des complexe et domaine = ouvert connexe de C
Pour b => a en fait c'est une conséquence immédiate du principe du maximum, comme f est analytique, si on suppose |f| constant, en tout point de D (qui est ouvert donc les points de D sont interieurs a D) f admet un maximum local donc elle est constante
Maintenant si je suppose c : analytique alors par les equations de Cauchy Riemann j'obtiens directement e) Q est constante
En fait je ne comprends pas tres bien ta reponse, par exemple pour
c => d
Je suis d'accord que P=(f+ )/2
Donc comme P est analytique sur le domaine D, P(D)=O ouvert de C or
P(D) est inclus dans le corps R qui n'est pas fermé de C
(mais pour autant inclus dans un fermé n'implique pas etre fermé..)
Si X (partie de C) continent un ouvert Y de C, elle contient autour de chacun des points de cet ouvert un petit disque entièrement inclus dans l'ouvert Y, donc dans X. Et si X est une partie de R, ça va être difficile...