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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
analyse complexe
Posté par non973
Bonjour
1. On définit la fonction f sur R par
f(0) = 0 et ∀x ∈ R
Montrer que f est de classe infinie sur \R et pour tout n ∈
On définit la fonction f sur \C avec x qui appartient a \C
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0.
J'ai pensé a faire une récurrence pour montrer qu'elle est de classe infinie mais je n'ai pas réussi.
Merci d'avance et désolé pour le latex, je maîtrise mal
Bonjour,
non973 @ 24-03-2020 à 15:07
On définit la fonction f sur \C avec x qui appartient a \C
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0.
On définit la fonction f sur \C avec x qui appartient a \C
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0.
???
Bonjour mokassin,
c'est la même fonction que pour la premiere question mais x appartient à C au lieu de R
Tu penses vraiment que ta fonction peut etre holomorphe sans etre derivable?
Ta fonction n'est pas holomorphe en 0!
Bonjour Camélia,
donc quand je suis au rang n+1 on aura la somme de :
-la dérivée d'un polynôme fois la fonction exponentielle, toute deux continue
-la multiplication de deux polynôme fois la fonction exponentielle encore continue
Donc on peut conclure comme ça?
Je ne sais pas si j'ai été très claire
Non, ce n'est pas suffisant. Tu dois montrer qu'il existe un polynôme tel que
.
Mokassin (que je salue) a raison; il y a un problème d'énoncé dans la deuxième question!
Bonjour,
Citation :
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0
Peut-être montrer qu'on a une singularité essentielle? Ou bien prendre deux limites différentes (vers 0)?Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0
Montrer que f n'est pas holomorphe en 0 est évident, toutes ses dérivées n-ièmes sont nulles, elle serait donc identiquement nulle sur C tout entier.
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Citation :
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Comment ça?
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Citation :
Montrer que f n'est pas holomorphe en 0 est évident
Oui....avec le théorème du prolongement analytique, en effet. Du coup, la proposition que j'ai faite donne juste une méthode différente...Montrer que f n'est pas holomorphe en 0 est évident
Citation :
Comment ça?
Oui je vois comment faire. J'avais l'impression qu'il fallait nécessairement invoquer un gros théorème, mais pas besoin. Par contre, j'ai l'impression qu'il faut se refaire une récurrence?Comment ça?
Foxdevil @ 24-03-2020 à 15:53
Citation :
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Comment ça?Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Si f est méromorphe en 0, alors z^nf est holomorphe en 0 pour un certain n, mais alors elle est aussi identiquement nulle vu que toutes ses dérivées d'ordre n sont nulles en 0 par le meme argument que precedement.
Camélia @ 24-03-2020 à 16:05
A mon avis, le plus simple est de regarder ce qui se passe au voisinage de 0 pour)
.
Oui. C'était l'idée que j'avais derrière la tête en disant:
A mon avis, le plus simple est de regarder ce qui se passe au voisinage de 0 pour
Citation :
Ou bien prendre deux limites différentes (vers 0)?
Ou bien prendre deux limites différentes (vers 0)?
Citation :
Si f est méromorphe en 0, alors z^nf est holomorphe en 0 pour un certain n, mais alors elle est aussi identiquement nulle vu que toutes ses dérivées d'ordre n sont nulles en 0 par le meme argument que precedement.
Oui, ok. Ce qui revient au même que...
Si f est méromorphe en 0, alors z^nf est holomorphe en 0 pour un certain n, mais alors elle est aussi identiquement nulle vu que toutes ses dérivées d'ordre n sont nulles en 0 par le meme argument que precedement.
Citation :
Peut-être montrer qu'on a une singularité essentielle?
Peut-être montrer qu'on a une singularité essentielle?
bonsoir Camélia,
j'ai essayer de faire la récurrence comme vous me l'avez dit mais je n'ai pas réussi.
Serait-il possible d'avoir plus d'indication svp.
Tout ce qui suit est valable "pour tout réel t 
0 " et prouve que pour tout entier n 
0 il existe un (seul) Pn 
[X] tel que Dnf(t) = Pn(1/t)exp(-1/t²) .
..f(t) = P0(1/t)exp(-1/t²) où P0 = X² [X]
..Si pour un entier n 
on a Dnf(t) = Pn(1/t)exp(-1/t²) où Pn [X] alors
Dn+1f(t) = [-Pn '(1/t)/t² + 2Pn(1/t)/t3 ] exp(-1/t²) = Pn+1(1/t)exp(-1/t²) si on pose Pn + 1 = -X²Pn' + 2X3Pn . On a Pn+1 
[X]