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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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analyse complexe

Posté par
non973
24-03-20 à 15:07

Bonjour

1. On définit la fonction f sur R par
f(0) = 0 et ∀x ∈ R
f(x)=\frac{1}{x^2}exp(\frac{-1}{x^2})\\
Montrer que f est de classe infinie sur \R et pour tout n ∈ \N f^{(n)}(0)=0\\

On définit la fonction f sur \C avec x qui  appartient a \C
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0.

J'ai pensé a faire une récurrence pour montrer qu'elle est de classe infinie mais je n'ai pas réussi.

Merci d'avance et désolé pour le latex, je maîtrise mal

Posté par
Camélia Correcteur
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:09

Bonjour

Oui, c'est bien une récurrence. Prends comme hypothèse f^{(n)}(x)=P_n(x)e^{-1/x^2}P_n est un polynôme.

Posté par
mokassin
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:13

Bonjour,

non973 @ 24-03-2020 à 15:07


On définit la fonction f sur \C avec x qui  appartient a \C
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0.

???

Posté par
non973
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:18

Bonjour mokassin,
c'est la même fonction que pour la premiere question mais x appartient à C au lieu de R

Posté par
mokassin
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:20

Tu penses vraiment que ta fonction peut etre holomorphe sans etre derivable?
Ta fonction n'est pas holomorphe en 0!

Posté par
Camélia Correcteur
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:21

Il doit bien y avoir un \C\setminus \{0\} quelque part!

Posté par
non973
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:24

Bonjour Camélia,
donc quand je suis au rang n+1 on aura la somme de :
-la dérivée d'un polynôme fois la fonction exponentielle, toute deux continue  
-la multiplication de deux polynôme fois la fonction exponentielle encore continue
Donc on peut conclure comme ça?
Je ne sais pas si j'ai été très claire

Posté par
non973
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:27

oui pardonnez moi x appartient à C\{0} et il faut montrer qu'elle est holomorphe sur C\{0}

Posté par
Camélia Correcteur
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:30

Non, ce n'est pas suffisant. Tu dois montrer qu'il existe un polynôme P_{n+1} tel que f^{(n+1)}(x)=P_{(n+1)}(1/x)e^{-1/x^2}.

Mokassin (que je salue) a raison; il y a un problème d'énoncé dans la deuxième question!

Posté par
Camélia Correcteur
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:35

Je m'aperçois que j'ai une faute de frappe à 15h09. C'est P_n(1/x)

Posté par
Foxdevil
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:36

Bonjour,

Citation :
Montrer que f est holomorphe et que f n'est pas dérivable en 0
Peut-être montrer qu'on a une singularité essentielle? Ou bien prendre deux limites différentes (vers 0)?

Posté par
mokassin
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:43

Montrer que f n'est pas holomorphe en 0 est évident, toutes ses dérivées n-ièmes sont nulles, elle serait donc identiquement nulle sur C tout entier.
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.

Posté par
Foxdevil
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:53

Citation :
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Comment ça?

Citation :
Montrer que f n'est pas holomorphe en 0 est évident
Oui....avec le théorème du prolongement analytique, en effet. Du coup, la proposition que j'ai faite donne juste une méthode différente...

Posté par
Foxdevil
re : analyse complexe 24-03-20 à 15:59

Citation :
Comment ça?
Oui je vois comment faire. J'avais l'impression qu'il fallait nécessairement invoquer un gros théorème, mais pas besoin. Par contre, j'ai l'impression qu'il faut se refaire une récurrence?

Posté par
mokassin
re : analyse complexe 24-03-20 à 16:05

Foxdevil @ 24-03-2020 à 15:53

Citation :
Pour les memes raisons elle ne peut pas etre meromorphe.
Comment ça?

Si f est méromorphe en 0, alors z^nf est holomorphe en 0 pour un certain n, mais alors elle est aussi identiquement nulle vu que toutes ses dérivées d'ordre n sont nulles en 0 par le meme argument que precedement.

Posté par
Camélia Correcteur
re : analyse complexe 24-03-20 à 16:05

A mon avis, le plus simple est de regarder ce qui se passe au voisinage de 0 pour f(ix).

Posté par
Foxdevil
re : analyse complexe 24-03-20 à 17:15

Camélia @ 24-03-2020 à 16:05

A mon avis, le plus simple est de regarder ce qui se passe au voisinage de 0 pour f(ix).
Oui. C'était l'idée que j'avais derrière la tête en disant:

Citation :
Ou bien prendre deux limites différentes (vers 0)?


Citation :
Si f est méromorphe en 0, alors z^nf est holomorphe en 0 pour un certain n, mais alors elle est aussi identiquement nulle vu que toutes ses dérivées d'ordre n sont nulles en 0 par le meme argument que precedement.
Oui, ok. Ce qui revient au même que...

Citation :
Peut-être montrer qu'on a une singularité essentielle?

Posté par
mokassin
re : analyse complexe 24-03-20 à 17:18

Oui, bien sur vu que f est holomorphe sur C privé de 0.

Posté par
Foxdevil
re : analyse complexe 24-03-20 à 17:51

Oui. On a même besoin juste de son holomorphie sur un voisinage de 0...

Posté par
non973
re : analyse complexe 24-03-20 à 20:48

bonsoir Camélia,
j'ai essayer de faire la récurrence comme vous me l'avez dit mais je n'ai pas réussi.
Serait-il possible d'avoir plus d'indication  svp.

Posté par
etniopal
re : analyse complexe 25-03-20 à 08:03



Tout ce qui suit est valable "pour  tout réel t 0 "  et prouve que  pour tout entier n 0 il existe  un (seul)  Pn   [X] tel que Dnf(t) = Pn(1/t)exp(-1/t²)   .

..f(t) = P0(1/t)exp(-1/t²)  où P0 = X²   [X]

..Si pour un entier n   on a Dnf(t) = Pn(1/t)exp(-1/t²)  où Pn   [X] alors  
Dn+1f(t) = [-Pn '(1/t)/t²   + 2Pn(1/t)/t3 ] exp(-1/t²)  = Pn+1(1/t)exp(-1/t²)  si on pose Pn + 1 = -X²Pn'  + 2X3Pn  . On a  Pn+1   [X]



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